Arkus tangens

Arkus tangens
Osnovne osobine
Parnost	neparna
Domen	(-∞,∞)
Kodomen	(-π/2,π/2)
Specifične vrednosti
Nule	0
Vrednost u +∞	π/2
Vrednost u -∞	-π/2
Specifične osobine
Asimptote	y = ± π/2
Prevoji	(0,0)
Ulazak u nulu pod uglom	π/4

Arkus tangens je funkcija inverzna funkciji tangensa na intervalu njenog domena [-π/2,π/2]. Koristi se za određivanje veličine ugla kada je poznata vrednost njegovog tangensa. Može se definisati sledećom formulom:

${\displaystyle \operatorname {arctg} \;x=\tan ^{-1}x={\frac {i}{2}}\left(\log(1-ix)-\log(ix+1)\right)}$

Slede neke od formula koje se vezuju za arkus tangens:

${\displaystyle \operatorname {arctg} \;x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcctg} \;x}$ (pravilo komplementnih uglova)

${\displaystyle \operatorname {arctg} (-x)=-\operatorname {arctg} \;x\!}$ (neparnost f-je)

${\displaystyle \operatorname {arctg} \;{\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} \;x=\operatorname {arcctg} \;x,\ }$ ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle \operatorname {arctg} \;{\frac {1}{x}}=-{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} \;x=-\pi +\operatorname {arcctg} \;x,\ }$ ${\displaystyle x<0}$

Preko formule za polovinu ugla se dobija i:

${\displaystyle \operatorname {arctg} \;x=2\operatorname {arctg} \;{\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}}$

Izvod:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arctg} \;x{}={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Predstavljanje u formi integrala:

${\displaystyle \operatorname {arctg} \;x{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx}$

Predstavljanje u formi beskonačne sume:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arctg} x&{}=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |x|\leq 1\qquad x\neq i,-i\end{aligned}}}$

• Funkcija arctg na wolfram.com