Icosidodecadodecaedru snub

Icosidodecadodecaedru snub
(model 3D)
Descriere
Tippoliedru uniform neconvex
Fețe104 (80 triunghiuri,
        12 pentagoane,
        12 pentagrame)
Laturi (muchii)180
Vârfuri60
χ−16
Configurația vârfului33.5.3.5/3[1]
Simbol Wythoff| 5/3 3 5[1]
Diagramă Coxeter
Grup de simetrieI, [5,3]+, 532[1]
Volum≈14,642 a3   (a = latura)
Poliedru dualhexacontaedru hexagonal medial
Proprietățiuniform, neconvex
Figura vârfului

În geometrie icosidodecadodecaedrul snub este un poliedru stelat uniform, cu indicele U46. Are 104 de fețe (80 triunghiuri, 12 pentagoane și 12 pentagrame), 180 de laturi și 60 de vârfuri.[1] Având 104 fețe este un hecatotetraedru neconvex. Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă laturi sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi.

Este reprezentat prin diagrama Coxeter–Dynkin . Are simbolul Wythoff | 5/3 3 5.[1]

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

coordonatele carteziene ale vârfurilor sunt toate permutările pare cu un număr par de semne plus ale

( ± 2 α , ± 2 γ , ± 2 β ) {\displaystyle \left(\,\pm 2\alpha ,\,\pm 2\gamma ,\,\pm 2\beta \,\right)}
( ± ( α + β φ − 1 + γ φ ) , ± ( − α φ + β + γ φ − 1 ) , ± ( α φ − 1 + β φ − γ ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha +\beta \varphi ^{-1}+\gamma \varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi +\beta +\gamma \varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi -\gamma )\,\right)}
( ± ( − α φ − 1 + β φ + γ ) , ± ( − α + β φ − 1 − γ φ ) , ± ( α φ + β − γ φ − 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi +\gamma ),\,\pm (-\alpha +\beta \varphi ^{-1}-\gamma \varphi ),\,\pm (\alpha \varphi +\beta -\gamma \varphi ^{-1})\,\right)}
( ± ( − α φ − 1 + β φ − γ ) , ± ( α − β φ − 1 − γ φ ) , ± ( α φ + β + γ φ − 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi -\gamma ),\,\pm (\alpha -\beta \varphi ^{-1}-\gamma \varphi ),\,\pm (\alpha \varphi +\beta +\gamma \varphi ^{-1})\,\right)}
( ± ( α + β φ − 1 − γ φ ) , ± ( α φ − β + γ φ − 1 ) , ± ( α φ − 1 + β φ + γ ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha +\beta \varphi ^{-1}-\gamma \varphi ),\,\pm (\alpha \varphi -\beta +\gamma \varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi +\gamma )\,\right)}

unde φ = 1 + 5 2 ≈ 1 , 618034 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,618034} este secțiunea de aur,

ρ ≈ 1 , 324718 {\displaystyle \rho \approx 1,324718} [2] este rădăcina reală a polinomului ρ 3 − ρ − 1 {\displaystyle \rho ^{3}-\rho -1}
α = ρ + 1 = ρ 3 ≈ 2 , 324718 {\displaystyle \alpha =\rho +1=\rho ^{3}\approx 2,324718}
β = φ 2 ρ 4 + φ ≈ 9 , 680520 {\displaystyle \beta =\varphi ^{2}\rho ^{4}+\varphi \approx 9,680520}
γ = ρ 2 + φ ρ ≈ 3 , 898317 {\displaystyle \gamma =\rho ^{2}+\varphi \rho \approx 3,898317}

Permutările impare ale coordonatelor de mai sus cu un număr impar de semne plus dau o altă formă, enantiomorfă a celeilalte.[3]

Rază circumscrisă

Raza circumscrisă pentru lungimea laturii de 1 unitate este dată de relația:[4]

1 2 2 ρ − 1 ρ − 1 ≈ 1 , 126898. {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2\rho -1}{\rho -1}}}\approx 1,126898.}

Volum

Volumul său, V, este dat de rădăcina reală pozitivă a polinomului de gradul al treilea în x 2 {\displaystyle x^{2}}

729 x 6 − 155520 x 4 − 10125 x 2 − 33153125. {\displaystyle 729x^{6}-155520x^{4}-10125x^{2}-33153125.}

Ca urmare, volumul este:[5]

V ≈ 14 , 64198   a 3 {\displaystyle V\approx 14,64198~a^{3}}

unde a este lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate).

Dual: hexacontaedru hexagonal medial

Poliedre înrudite

Poliedru dual

Dualul său este hexacontaedrul hexagonal medial.[6][7]

Note

  1. ^ a b c d e en Roman, Maeder. „46: snub icosidodecadodecahedron”. MathConsult. Accesat în . 
  2. ^ en Equation solver, wolframalpha.com, accesat 2023-10-23
  3. ^ en Skilling, John (), „The complete set of uniform polyhedra”, Philosophical Transactions of the Royal Society A, 278 (1278): 111–135, doi:10.1098/rsta.1975.0022 
  4. ^ en Eric W. Weisstein, Snub Icosidodecadodecahedron la MathWorld.
  5. ^ en Equation solver, wolframalpha.com, accesat 2023-10-23
  6. ^ en Eric W. Weisstein, Medial Hexagona Hexecontahedron la MathWorld.
  7. ^ en Wenninger, Magnus (), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 

Vezi și

Legături externe

  • en Uniform polyhedra and duals
Portal icon Portal Matematică
  • en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”.  Cheie: sided
  • v
  • d
  • m
Poliedre neconvexe
Poliedre
Kepler–Poinsot
Trunchieri uniforme
ale poliedrelor
Kepler–Poinsot
hemipoliedre
uniforme neconvexe
Duale ale poliedrelor
uniforme neconvexe
  • triacontaedru rombic medial
  • micul dodecaedru stelapentakis
  • hexacontaedru romboidal medial
  • hexacontaedru pentagonal medial
  • triacontaedru disdiakis medial
  • marele triacontaedru rombic
  • marele dodecaedru stelapentakis
  • marele hexacontaedru romboidal
  • marele triacontaedru disdyakis
  • marele hexacontaedru pentagonal