Lok Agnesi

Inaczej wersjera^[1]; krzywa zwana lokiem Agnesi była badana przez Guido Grandiego, który, opisując ją, używał włoskiego wyrazu versorio, co znaczy „mający możliwość ruchu w dowolnym kierunku”. Funkcjonuje też druga nazwa czarownica Agnesi. To określenie jest być może wynikiem błędnego tłumaczenia – w połowie XVIII wieku Maria Agnesi błędnie myślała, że Grandi używał włoskiego słowa versiera, oznaczającego „żona diabła” lub „czarownica”^[2].

Aby skonstruować krzywą:

1. Wykreśl okrąg o środku w punkcie ${\displaystyle (0,a)}$ i o promieniu ${\displaystyle a>0.}$
2. Z początku układu współrzędnych poprowadź prostą przecinającą w punkcie ${\displaystyle P}$ ten okrąg.
3. Znajdź punkt przecięcia ${\displaystyle Q}$ tej prostej z prostą o równaniu ${\displaystyle y=2a.}$
4. Znajdź punkt przecięcia prostej pionowej przechodzącej przez ${\displaystyle Q}$ i prostej poziomej przechodzącej przez ${\displaystyle P.}$
5. Otrzymany punkt ${\displaystyle M}$ leży na krzywej zwanej czarownicą.

Niech t oznacza kąt pomiędzy osią pionową i prostą przechodzącą przez punkty ${\displaystyle (0,0),}$ ${\displaystyle P}$ i ${\displaystyle Q;}$ gdzie ${\displaystyle a>0}$ to promień okręgu.

Wzory

Krzywą możemy opisać równaniem

${\displaystyle y={\frac {8a^{3}}{4a^{2}+x^{2}}}}$ dla ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

lub parametrycznie

${\displaystyle \alpha (t)=(2a\cdot \operatorname {tg} t,2a\cdot \cos ^{2}t).}$

Wykres ma asymptotę o równaniu

${\displaystyle y=0,}$

maksimum w punkcie:

${\displaystyle (0,2a),}$

promień krzywizny w tym punkcie wynosi

${\displaystyle r={\frac {a}{2}}.}$

Pole powierzchni ograniczonej wykresem i asymptotą krzywej jest równe

${\displaystyle S=4\pi \cdot a^{2}.}$

Lok Agnesi jest szczególnym przypadkiem krzywej Breita-Wignera, opisywanej równaniem

${\displaystyle y={\frac {a}{b^{2}+(x-c)^{2}}}}$ dla ${\displaystyle a>0.}$

Przypisy