Baza standardowa

Baza standardowa (również baza naturalna lub baza kanoniczna) – zbiór wektorów jednostkowych przestrzeni euklidesowej wskazujących każdą z osi układu współrzędnych kartezjańskich.

Przykładowo bazą standardową płaszczyzny euklidesowej są wektory

${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1),}$

a bazą standardową trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej są wektory

${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1).}$

Powyższe wektory ${\displaystyle \mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}}$ wskazują odpowiednio kierunki osi ${\displaystyle x,y,z.}$ Istnieje kilka popularnych notacji tych wektorów, a wśród nich

${\displaystyle \{\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}\},}$

${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\},}$

${\displaystyle \{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \},}$

${\displaystyle \{\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \}.}$

Czasami wektory te zapisywane są z daszkiem, aby uwypuklić fakt jednostkowości tych wektorów.

Wspomniane wektory stanowią bazę w tym sensie, iż każdy inny wektor może być przedstawiony jednoznacznie jako ich kombinacja liniowa. Na przykład każdy wektor ${\displaystyle \mathbf {v} }$ przestrzeni trójwymiarowej może być zapisany jako

${\displaystyle v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{z}\,\mathbf {e} _{z},}$

gdzie skalary ${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}}$ są składowymi wektora ${\displaystyle \mathbf {v} .}$

W ${\displaystyle n}$-wymiarowej przestrzeni euklidesowej istnieje ${\displaystyle n}$ różnych wektorów bazy standardowej

${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}:i=1,\dots ,n\},}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ oznacza wektor z ${\displaystyle 1}$ na ${\displaystyle i}$-tej współrzędnej i ${\displaystyle 0}$ wszędzie indziej.

Własności

Z definicji baza standardowa jest ciągiem ortogonalnych wektorów jednostkowych. Innymi słowy jest to baza uporządkowana i ortonormalna.

Jednakże uporządkowana baza ortonormalna nie musi być bazą standardową, np. wektory

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=\left({\tfrac {\sqrt {3}}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}=\left({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\right)}$

są jednostkowe i ortogonalne, ale baza ortonormalna, którą tworzą, nie spełnia definicji bazy standardowej.

Uogólnienia

Istnieje również baza standardowa pierścieni wielomianów ${\displaystyle n}$ zmiennych nad ciałem, mianowicie baza jednomianów.

Wszystkie poprzednie bazy były przypadkami szczególnymi rodziny

${\displaystyle (e_{i})_{i\in I}=((\delta _{ij})_{j\in I})_{i\in I},}$

gdzie ${\displaystyle I}$ jest dowolnym zbiorem, a ${\displaystyle \delta _{ij}}$ to symbol Kroneckera, równy zeru, jeżeli ${\displaystyle i\neq j}$ i równy jedności, jeśli ${\displaystyle i=j.}$ Rodzina ta jest bazą kanoniczną ${\displaystyle R}$-modułu (modułu wolnego) ${\displaystyle R^{(I)}}$ wszystkich rodzin ${\displaystyle f=(f_{i})}$ z ${\displaystyle I}$ w pierścień ${\displaystyle R,}$ które są zerami z wyjątkiem skończonej liczby współczynników, jeżeli przyjmie się, że ${\displaystyle 1}$ to ${\displaystyle 1_{R},}$ czyli jedność w ${\displaystyle R.}$

Inne

Istnienie innych baz standardowych stało się obiektem zainteresowań geometrii algebraicznej, poczynając od pracy Hodge’a z 1943 dotyczącej grassmannianów. Dziś jest to część teorii reprezentacji nazywanej teorią jednomianów standardowych. Ideę bazy standardowej w uniwersalnej algebrze obwiedniej (ang. universal enveloping algebra) algebry Liego uzyskuje się na mocy twierdzenia Poincarégo-Birkhoffa-Witta.

Bazą standardową nazywa się też czasami bazę Gröbnera.

Zobacz też

• uogólniona przestrzeń współrzędnych

Bibliografia

• Patrick J. Ryan: Euclidean and non-Euclidean geometry: an analytical approach. Cambridge; New York: Cambridge University Press, 1986, s. 198. ISBN 0-521-27635-7.
• Philip J. Schneider, David H. Eberly: Geometric tools for computer graphics. Amsterdam; Boston: Morgan Kaufmann Publishers, 2003, s. 112. ISBN 1-55860-594-0.