Minor

Ten artykuł dotyczy wyznacznika macierzy. Zobacz też: Minor – jednostka osadnicza w USA, Minor – osada w Rosji.

Ten artykuł od 2019-10 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Minor – wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby jej wierszy i kolumn^[1]. Minor główny to minor, w którym przy wykreślaniu pozostawiono wiersze i kolumny o równych indeksach, z kolei wiodący minor główny to minor główny, w którym wykreślono kolejno ostatnie wiersze i kolumny.

Przykład

Niech dana będzie macierz

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&4&2\\0&3&1&1\\7&1&3&4\end{bmatrix}}}$

typu ${\displaystyle 3\times 4}$ nad ciałem liczb rzeczywistych.

Wykreślając drugi wiersz oraz drugą i trzecią kolumnę, a więc pozostawiając elementy na przecięciu wierszy o indeksach ze zbioru ${\displaystyle I=\{1,3\}}$ oraz kolumn o indeksach ze zbioru ${\displaystyle J=\{1,4\}}$ otrzymuje się minor równy

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&\Box &\Box &2\\\Box &\Box &\Box &\Box \\7&\Box &\Box &4\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&2\\7&4\end{vmatrix}}=1\cdot 4-2\cdot 7=4-14=-10.}$

Powyższy minor nie jest główny, ponieważ ${\displaystyle I\neq J.}$ Minorem głównym macierzy ${\displaystyle A}$ jest na przykład minor

${\displaystyle {\begin{vmatrix}3&1\\1&3\end{vmatrix}}=8}$

utworzony z przecięcia kolumn i wierszy o indeksach ${\displaystyle 2}$ oraz ${\displaystyle 3.}$

Wiodącymi minorami głównymi macierzy ${\displaystyle A}$ są (w rosnącym porządku stopni):

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1\end{vmatrix}}=1,\quad {\begin{vmatrix}1&3\\0&3\end{vmatrix}}=3,\quad {\begin{vmatrix}1&3&4\\0&3&1\\7&1&3\end{vmatrix}}=-55.}$

Definicja

Dla danej macierzy ${\displaystyle A}$ typu ${\displaystyle m\times n}$ minorem stopnia ${\displaystyle k,}$ gdzie ${\displaystyle k\leqslant \min(m,n)}$ nazywa się wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia ${\displaystyle k}$ otrzymanej z macierzy ${\displaystyle A}$ poprzez wykreślenie ${\displaystyle m-k}$ wierszy i ${\displaystyle n-k}$ kolumn.

Ściślej operacja wykreślania polega na wskazaniu pewnego podciągu indeksów ${\displaystyle I}$ wierszy o długości ${\displaystyle k}$ oraz podciągu indeksów ${\displaystyle J}$ kolumn o długości ${\displaystyle k}$ z dziedziny macierzy, czyli iloczynu kartezjańskiego ${\displaystyle \{1,\dots ,m\}\times \{1,\dots ,n\}.}$ Tak wybrany zbiór indeksów ${\displaystyle I=\{i_{1},\dots ,i_{k}\}\times \{j_{1},\dots ,j_{k}\}}$ służy następnie obliczeniu wyznacznika macierzy ${\displaystyle A(I\times J).}$

Jeżeli ${\displaystyle I=J}$ mają po ${\displaystyle k}$ elementów, co oznacza, iż wykreślono wiersze i kolumny o tych samych indeksach pozostawiając ich ${\displaystyle k}$ w obu przypadkach, to taki minor nazywa się minorem głównym stopnia ${\displaystyle k.}$ Minor główny stopnia ${\displaystyle k,}$ z którego wykreślono ostatnie ${\displaystyle m-k}$ wierszy i ${\displaystyle n-k}$ kolumn, a więc tak, by ${\displaystyle I=J=\{1,2,\dots ,k\},}$ nazywa się wiodącym minorem głównym stopnia ${\displaystyle k.}$

Niekiedy minorami głównymi nazywa się wiodące minory główne zaniedbując te pierwsze.

Niekiedy minory macierzy oznacza się: ${\displaystyle (A_{i}),}$ ${\displaystyle (A^{a}),}$ ${\displaystyle (A_{i}A_{j})=-(A_{j}A_{i}),}$ ${\displaystyle (A^{a}A^{b})=-(A^{b}A^{a}),}$ ${\displaystyle (A_{i}A_{j}A_{k}),}$ ${\displaystyle (A^{a}A^{b}A^{c}),}$ itd., gdzie ${\displaystyle (A_{i})}$ są kolumnami, ${\displaystyle (A^{a})}$ wierszami macierzy ${\displaystyle (A_{i}^{a}),}$ a ${\displaystyle (A_{i}A_{j})}$ jest iloczynem mieszanym.

Własności

• Z definicji (własności) wyznacznika wynika, iż minorami stopnia 1 danej macierzy są jej elementy, minorami głównymi stopnia 1 są elementy z głównej przekątnej macierzy, zaś wiodącym minorem głównym stopnia 1 jest element o indeksie ${\displaystyle 1,1.}$
• Z definicji (własności) rzędu macierzy wynika, że dla macierzy rzędu ${\displaystyle r>0}$ nad pewnym ciałem istnieje co najmniej jeden niezerowy minor stopnia ${\displaystyle r,}$ zaś każdy minor stopnia wyższego od ${\displaystyle r}$ tej macierzy jest równy zeru (a więc rząd macierzy jest to największy możliwy wymiar niezerowego minora danej macierzy).
• Kryterium Sylvestera: macierz hermitowska (w przypadku zespolonym; w przypadku rzeczywistym: symetryczna) ${\displaystyle A}$ jest
  • dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy jej wszystkie wiodące minory główne są dodatnie;
  • ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy wiodące minory główne parzystego stopnia są dodatnie, a nieparzystego – ujemne.
• Dla danej macierzy ${\displaystyle m\times n}$ można wybrać ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}{\tbinom {m}{k}}}$ minorów stopnia ${\displaystyle k}$ (gdzie ${\displaystyle {\tbinom {\cdot }{\cdot }}}$ oznacza symbol Newtona).
• Macierz typu ${\displaystyle m\times n}$ ma ${\displaystyle \min(m,n)}$ wiodących minorów głównych, zaś macierz kwadratowa stopnia ${\displaystyle n}$ ma ich dokładnie ${\displaystyle n.}$

Zobacz też

Zobacz hasło minor w Wikisłowniku

• dopełnienie algebraiczne
• rozwinięcie Laplace’a

Przypisy