概素数

数論において与えられた自然数が概素数（がいそすう、英: almost prime）であるとは、適当な自然数 K を選べばその自然数の素因数の（重複度を含めた）個数が高々 K 個となることを言う^[1]^[2]。^{[注 1]}^{[注 2]}

注: K は任意の値をとれるが、K の値に応じて概素数の概念が決まることに留意すべきである。どんなに大きな自然数 K に対してもそれに対応する概素数の概念を考えることができるから、明らかにすべての自然数が（何らかの K に対する）概素数であり、K と無関係に扱うことは無意味である。

定義

p_i は 1 または素数であって必ずしも異なる必要はないものとし、K は自然数の定数として、自然数 n が

n=p_{1}\cdot p_{2}\dotsb p_{K}

と書けるとき、n は概素数であると言う。K を具体的に一つ決めたとき、素因数の数が重複度を込めて高々 K であるような概素数全体の成すクラスを P_K とすることがある^[4]。^{[注 3]}^{[注 4]}

小さい k に対する k-概素数
k	k-概素数	OEISの数列
1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …	A000040
2	4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, …	A001358
3	8, 12, 18, 20, 27, 28, 30, …	A014612
4	16, 24, 36, 40, 54, 56, 60, …	A014613
5	32, 48, 72, 80, 108, 112, …	A014614
6	64, 96, 144, 160, 216, 224, …	A046306
7	128, 192, 288, 320, 432, 448, …	A046308
8	256, 384, 576, 640, 864, 896, …	A046310
9	512, 768, 1152, 1280, 1728, …	A046312
10	1024, 1536, 2304, 2560, …	A046314
11	2048, 3072, 4608, 5120, …	A069272
12	4096, 6144, 9216, 10240, …	A069273
13	8192, 12288, 18432, 20480, …	A069274
14	16384, 24576, 36864, 40960, …	A069275
15	32768, 49152, 73728, 81920, …	A069276
16	65536, 98304, 147456, …	A069277
17	131072, 196608, 294912, …	A069278
18	262144, 393216, 589824, …	A069279
19	524288, 786432, 1179648, …	A069280
20	1048576, 1572864, 2359296, …	A069281

上で「高々 K 個」としていた部分を「ちょうど k 個」と置き換えることもできる。すなわち

自然数 n が素数 p_i（必ずしも異なる必要はない）と自然数の定数 k を用いて

n=p_{1}\dotsb p_{k}

の形に書けるならば、n は概素数であるという^[5]。

そして具体的に k を一つ決めるごとに k-概素数の概念が定まる（上では「概素数」という名称を k の値を特定しない k-概素数の総称的な意味で用いているとも理解できる）。自然数 n が k-概素数となるための必要十分条件は、その素因数が重複度を込めてちょうど k 個となることである。k-概素数全体の成すクラスを P_k と書く。^{[注 5]}^{[注 4]}

性質

Ω(n) を n の素因数分解に現れる（必ずしも相異ならない）素数の総数を与える数論的函数
$\Omega (n):=\sum a_{i}\qquad (n=\prod p_{i}^{a_{i}})$
とすれば、より具体的に「n が k-概素数であるための必要十分条件は Ω(n) = k となることである」と述べることができる。
自然数が素数となる必要十分条件はそれが 1-概素数となることであり、同様に半素数となるための必要十分条件はそれが 2-概素数となることである。
最小の k-概素数は 2^k である。

n 以下の自然数 m でその素因子（相異なる必要はない）の数が高々 K 個（最初の定義の意味で m ∈ P_K）であるようなものの数 π_K(n) は

\pi _{K}(n)\sim \left({\frac {n}{\log n}}\right){\frac {(\log \log n)^{K-1}}{(K-1)!}}

と漸近する^[6]（これはランダウの結果である）。ハーディ・ラマヌジャンの定理（英語版）も参照せよ。

注

[脚注の使い方]

注釈

^ 「概素数」を素因数がちょうど二つであるような自然数、本項で言う 2-概素数、すなわち半素数の意味で用いている場合がある^[3]
^ ここで K は現れる箇所において必ず決まった「定数」でなければならないが、現れる箇所ごとに異なっていてもよい。
^ この分類において、クラス P_K は包含的（K に対して単調増大）である。
^ ^a ^b 二つの流儀の P_K と P_k という明らかに異なるクラスの間で記号の衝突が起きている（K も k も任意の自然数）が、どちらの意味であるかは文脈を頼るべきである。いずれにせよ ${\textstyle \mathbb {N} =\bigcup _{K=1}^{\infty }P_{K}=\bigcup _{k=1}^{\infty }P_{k}}$ である。
^ このように分類する場合、クラス P_k は排他的（i ≠ j ならば P_i ∩ P_j = ∅）である。

出典

^ Sándor, József; Dragoslav, Mitrinović S.; Crstici, Borislav (2006). Handbook of Number Theory I. Springer. p. 316. ISBN 978-1-4020-4215-7. https://link.springer.com/referencework/10.1007%2F1-4020-3658-2
^ Rényi, Alfréd A. (1948). “On the representation of an even number as the sum of a single prime and single almost-prime number” (ロシア語). Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya 12 (1): 57–78. http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=3018&option_lang=eng.
^ 例えば『概素数』 - コトバンクを参照
^ Heath-Brown, D. R. (May 1978). “Almost-primes in arithmetic progressions and short intervals”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 83 (3): 357–375. doi:10.1017/S0305004100054657. http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=2079092&fileId=S0305004100054657.
^ Michiel Hazewinkel, ed. (2012), Encyclopaedia of Mathematics, 1, Springer Science & Business Media, ISBN 9789401512398, https://books.google.com/books?id=IEnqCAAAQBAJ&pg=PA158&dq=%22almost+prime%22
^ Tenenbaum, Gerald (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-41261-7

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Almost prime". mathworld.wolfram.com (英語).

表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー (2^2ⁿ + 1) メルセンヌ (2^p − 1) 二重メルセンヌ (2^{2^p−1} − 1) ワグスタッフ ((2^p + 1)/3) プロス (k·2ⁿ + 1) 階乗 (n! ± 1) 素数階乗 (p_n# ± 1) ユークリッド (p_n# + 1) ピタゴラス (4n + 1) ピアポント (2^u·3^v + 1) Quartan（英語版） (x⁴ + y⁴) ソリナス（英語版） (2^a ± 2^b ± 1) カレン (n·2ⁿ + 1) ウッダル (n·2ⁿ − 1) Cuban（英語版） ((x³ − y³)/(x − y)) キャロル ((2ⁿ − 1)² − 2) Kynea ((2ⁿ + 1)² − 2) レイランド (x^y + y^x) サービト（英語版） (3·2ⁿ − 1) ミルズ ([A]^3ⁿ)
漸化式（英語版）	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版）高度コトーティエント（英語版）
基数依存	ハッピー二面（英語版）回文エマープレピュニット ((10ⁿ − 1)/9) 置換可能 Circular（英語版）切り捨て可能 Strobogrammatic（英語版） Minimal（英語版）弱いフルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 (p, p + 2) Bi-twin chain (n − 1, n + 1, 2n − 1, 2n + 1, …) 三つ子 (p, p + 2 or p + 4, p + 6) 四つ子 (p, p + 2, p + 6, p + 8) k−Tuple いとこ (p, p + 4) セクシー (p, p + 6) 陳ソフィー・ジェルマン (p, 2p + 1) カニンガム鎖 (p, 2p ± 1, …) 安全 (p, (p − 1)/2) 算術数列（英語版） (p + an; n = 0, 1, …) 平衡 (p − n, p, p + n)
桁数	タイタニック (10³桁以上) 巨大 (10⁴桁以上) メガ (10⁶桁以上)
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔『巨大な素数の一覧』
最初の50個	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
素数の一覧