Punto di accumulazione

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In matematica il punto di accumulazione è uno dei concetti principali dell'analisi matematica e della topologia.

Definizione

Dato l'insieme A ⊂ R {\displaystyle A\subset \mathbb {R} } e x 0 ∈ R {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} } (non interessa che x 0 {\displaystyle x_{0}} appartenga ad A {\displaystyle A} o meno), si dice che x 0 {\displaystyle x_{0}} è punto di accumulazione per l'insieme A {\displaystyle A} se in ogni intorno I ( x 0 ) {\displaystyle I(x_{0})} di x 0 {\displaystyle x_{0}} esiste almeno un elemento x {\displaystyle x} diverso da x 0 {\displaystyle x_{0}} e appartenente ad A {\displaystyle A} [1]. In formule:

∀ I ( x 0 ) ∃ x ∈ A : x ∈ I ( x 0 ) ∖ { x 0 } . {\displaystyle \forall I(x_{0})\,\exists x\in A:x\in I(x_{0})\setminus \{x_{0}\}.}

Intuitivamente questo significa che arbitrariamente vicino a x 0 {\displaystyle x_{0}} ci sono sempre punti di A {\displaystyle A} (diversi da x 0 {\displaystyle x_{0}} ).

La definizione di punto di accumulazione è la negazione di quella di punto isolato.

Generalizzazioni

La nozione di punto di accumulazione è generalizzata agli spazi metrici e topologici; in entrambi i casi un punto x 0 {\displaystyle x_{0}} è di accumulazione per un insieme S {\displaystyle S} se l'insieme S {\displaystyle S} contiene punti "arbitrariamente vicini" ad x 0 {\displaystyle x_{0}} . La nozione di "arbitrariamente vicino" è formalizzata in modo appropriato, a seconda che lo spazio sia munito di una metrica o soltanto di una topologia.

Spazi topologici

In topologia un punto x 0 {\displaystyle x_{0}} appartenente ad uno spazio topologico ( X , T ) {\displaystyle (X,T)} è un punto di accumulazione per un sottoinsieme S {\displaystyle S} di X {\displaystyle X} se qualsiasi aperto A {\displaystyle A} contenente x 0 {\displaystyle x_{0}} interseca S {\displaystyle S} in almeno un punto diverso da x 0 {\displaystyle x_{0}} . In simboli:

∀ A ∈ T  tale che  x 0 ∈ A :   ( A ∖ { x 0 } ) ∩ S ≠ ∅ . {\displaystyle \forall A\in T{\text{ tale che }}x_{0}\in A:\ (A\setminus \lbrace x_{0}\rbrace )\cap S\not =\varnothing .}

Spazi metrici

In uno spazio metrico, se si considera la topologia naturale indotta dalla metrica, la definizione introdotta precedentemente è equivalente alla seguente:

∀ r > 0 : ( D ( x 0 , r ) ∖ { x 0 } ) ∩ S ≠ ∅ , {\displaystyle \forall r>0:(D(x_{0},r)\setminus \lbrace x_{0}\rbrace )\cap S\not =\varnothing ,}

dove D ( x 0 , r ) {\displaystyle D(x_{0},r)} è la palla di raggio r {\displaystyle r} e centro x 0 {\displaystyle x_{0}} . In altre parole, ogni palla centrata in x 0 {\displaystyle x_{0}} interseca S {\displaystyle S} in qualche punto diverso da x 0 {\displaystyle x_{0}} .

Nel caso di spazi metrici, se x 0 {\displaystyle x_{0}} è punto di accumulazione per S {\displaystyle S} , allora è possibile trovare punti di S {\displaystyle S} , distinti da x 0 {\displaystyle x_{0}} a distanza arbitrariamente piccola da x 0 {\displaystyle x_{0}} . Dunque in ogni intorno di x 0 {\displaystyle x_{0}} cadono infiniti punti di S {\displaystyle S} .

Nozioni correlate

L'insieme dei punti di accumulazione di S {\displaystyle S} è detto insieme derivato di S {\displaystyle S} e si indica di solito con S ′ {\displaystyle S'} .

Note

  1. ^ accumulazione, punto di in "Enciclopedia della Matematica", su treccani.it. URL consultato il 17 aprile 2021.

Voci correlate

  • Limite
  • Insieme limite
  • Punto isolato
  • Punto di aderenza
  • Frontiera (topologia)
  • Teorema di Bolzano-Weierstrass

Collegamenti esterni

  • accumulazione, punto di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013. Modifica su Wikidata
  • (EN) limit point, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc. Modifica su Wikidata
  • (EN) Eric W. Weisstein, Punto di accumulazione / Punto di accumulazione (altra versione), su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  • (EN) Punto di accumulazione, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society. Modifica su Wikidata
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