Insieme chiuso

I punti ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} del piano cartesiano che soddisfano la relazione x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} formano una circonferenza qui disegnata in blu avente il centro nell'origine degli assi cartesiani e raggio r {\displaystyle r} . I punti tali che x 2 + y 2 < r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}<r^{2}} sono disegnati in rosso. L'unione dei punti disegnati in rosso e di quelli in blu è un insieme chiuso, mentre la sola parte disegnata in rosso forma un insieme aperto.

In topologia, un insieme chiuso è un sottoinsieme di uno spazio topologico tale che il suo complementare è aperto, oppure, equivalentemente, un insieme è chiuso se contiene la sua frontiera. Intuitivamente se un insieme è chiuso vuol dire che il "bordo" dell'insieme appartiene all'insieme stesso.

Gli insiemi chiusi hanno quindi le seguenti proprietà, "complementari" a quelle degli insiemi aperti, valide in un qualsiasi spazio topologico ( X , T ) {\displaystyle (X,{\mathcal {T}})} :

  1. l'unione di un numero finito di chiusi è ancora un chiuso;
  2. l'intersezione di una collezione arbitraria di chiusi è ancora un chiuso;
  3. l'intero insieme X {\displaystyle X} e l'insieme vuoto sono chiusi.

Si possono usare queste proprietà come assiomi per definire una topologia su X {\displaystyle X} a partire dai chiusi, che coincide con quella generata nel modo usuale dalla famiglia T {\displaystyle {\mathcal {T}}} degli aperti complementari.

Esempi

Sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:

  • i sottoinsiemi contenenti un solo elemento;
  • gli intervalli [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , con a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} numeri reali finiti;
  • gli intervalli [ a , + ∞ ) {\displaystyle [a,+\infty )} e ( − ∞ , b ] {\displaystyle (-\infty ,b]} , con a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} numeri reali finiti;
  • i sottoinsiemi dei numeri naturali e dei numeri interi;
  • l'insieme di Cantor.

Non sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:

  • gli intervalli [ a , b ) {\displaystyle [a,b)} e ( a , b ] {\displaystyle (a,b]} , con a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} numeri reali finiti;
  • il sottoinsieme dei numeri razionali.

Altri esempi di insiemi chiusi sono:

  • un qualsiasi sottospazio vettoriale dello spazio euclideo;
  • un cerchio (circonferenza inclusa) nel piano, una sfera (con la sua superficie) nello spazio e più in generale un'ipersfera (con il suo bordo) in uno spazio euclideo a n {\displaystyle n} dimensioni. Più in generale l'insieme S = { x ∈ X : d ( x , O ) ≤ R } {\displaystyle S=\{x\in X:d(x,O)\leq R\}}

dove O {\displaystyle O} è un punto dello spazio ed R {\displaystyle R} un numero reale positivo, è un insieme chiuso dello spazio metrico ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} con topologia indotta dalla metrica d {\displaystyle d} .

Proprietà

  • Un sottoinsieme chiuso di un insieme compatto è anch'esso compatto.
  • Un sottoinsieme compatto in uno spazio di Hausdorff è chiuso.
  • La frontiera di un qualunque insieme è chiusa.
  • In uno spazio metrico (ad esempio quello euclideo), i punti sono chiusi.
  • Uno spazio topologico è uno spazio T1 se e solo se tutti i suoi punti sono chiusi.
  • La controimmagine di un chiuso attraverso una funzione continua tra due spazi topologici è chiusa.

Bibliografia

  • Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
  • Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
  • (EN) Stephen Willard, General Topology, Reading, MA, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6.

Voci correlate

Collegamenti esterni

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