Système de Burr

En probabilités, le système de Burr est un ensemble de fonctions utilisées pour modéliser des lois de probabilités à partir d'échantillons. Il a été mis au point par Burr en 1942, dans l'idée de pouvoir générer des fonctions de répartition adaptées tout en restant simples à manipuler.

Des douze cas originellement étudiés par Burr, le 12^e et dernier est celle qui est connue comme la fonction de répartition de la loi de Burr.

Principe

Pour les lois univariées, Burr s'intéresse aux fonctions de répartition F vérifiant l'équation différentielle :

${\displaystyle F'(x)=F(x)(1-F(x))g(x)}$

où g est une fonction positive. On retrouve les fonctions de Pearson pour (Burr 1942) :

${\displaystyle g(x)={\frac {1}{ax^{2}+bx+c}}.}$

Cette équation se résout simplement avec :

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{1+\exp \left(-\int _{-\infty }^{x}g(t)\,\mathrm {d} t\right)}}}$

Solutions de Burr

Dans son article, Burr cite douze solutions de l'équation différentielle telles qu'elles répondent aux caractéristiques d'une fonction de répartition d'une loi de probabilités (à savoir être croissante sur la droite réelle, la semi-continuité à droite, et prendre les valeurs sur [0;1]).

Type I

Elle correspond au cas où ${\displaystyle g(x)={\frac {1}{x(1-x)}}1\!\!1_{0<|x|<1}(x)}$, ce qui permet de retrouver la loi uniforme continue.

Type II

Elle correspond au cas où ${\displaystyle F(x;k)=(1+{\rm {e}}^{-x})^{-k}}$. Pour k = 1, on reconnait la loi logistique.

Type III

Elle correspond au cas où

${\displaystyle F(x;c,k)\propto \left[1+x^{c}\right]^{-k}1\!\!1_{\mathbb {R} _{+}}(x)}$

Pour k = 1, on reconnait la loi log-logistique. On l'appelle aussi « loi de Burr inverse » ou « loi de Dagum généralisée ».

Type IV

Elle correspond au cas où

${\displaystyle F(x;c,k)\propto \left[1+\left({\frac {c}{x}}-1\right)^{\frac {1}{c}}\right]^{-k}1\!\!1_{]0;c[}(x)}$

Type V

Elle correspond au cas où

${\displaystyle F(x;k)\propto \left[1+c\exp(-\tan(x))\right]^{-k}1\!\!1_{]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}[}(x)}$

Type VI

Elle correspond au cas où

${\displaystyle F(x;k)\propto \left[1+\exp(-k\sinh(x))\right]^{-k}}$

Type VII

Elle correspond au cas où

${\displaystyle F(x;k)\propto {\frac {1}{2^{k}}}\left[1+\tanh(x))\right]^{k}}$

Type VIII

Elle correspond au cas où

${\displaystyle F(x;k)\propto \left[{\frac {2}{\pi }}\arctan({\rm {e}}^{x})\right]^{k}}$

Pour k = 1, on reconnait la loi sécante hyperbolique.

Type IX

Elle correspond au cas où

${\displaystyle F(x;c,k)\propto 1-{\frac {2}{2+c\left[(1+{\rm {e}}^{x})^{k}-1\right]}}}$

Type X

Elle correspond au cas où

${\displaystyle F(x;k)\propto (1-{\rm {e}}^{-x^{2}})^{k}1\!\!1_{\mathbb {R} _{+}}(x)}$

Pour k = 1, on reconnait la loi de Rayleigh.

Type XI

Elle correspond au cas où

${\displaystyle F(x;k)\propto \left[x-{\frac {\sin(2\pi x)}{2\pi }}\right]^{k}1\!\!1_{]0;1[}(x)}$

Pour k = 1, on reconnait la loi du cosinus surélevé.

Type XII

C'est cette loi qu'on appelle la loi de Burr, car c'est celle que Burr étudie plus spécifiquement dans son article d'origine :

${\displaystyle F(x;c,k)\propto (1-\left(1+x^{c}\right)^{-k})1\!\!1_{\mathbb {R} _{+}}(x)}$

Références

• (en) T. R. L. Fry, Univariate and Multivariate Burr Distributions: A Survey, 1989 (DOI 10.22004/ag.econ.266976, lire en ligne).
• (en) I. W. Burr, « Cumulative frequency functions », Annals of Mathematical Statistics, vol. 13, n^o 2,‎ 1942, p. 215–232 (DOI 10.1214/aoms/1177731607, lire en ligne).
• (en) Navid Feroze et Muhammad Aslam, Maximum Likelihood Estimation of Burr Type V Distribution under Left Censored Samples, vol. 12, coll. « WSEAS Transactions on Mathematics », 2013 (lire en ligne), chap. 6.
• (en) Norman L. Johnson, Samuel Kotz et Narayanaswamy Balakrishnan, Continuous Univariate Distributions, vol. 2, New York, John Wiley & Sons, 1995 (ISBN 978-0-471-58494-0).
• (en) Pandu R. Tadikamalla, « A Look at the Burr and Related Distributions », International Statistical Review, vol. 48, n^o 3,‎ 1980, p. 337–344 (DOI 10.2307/1402945).

Voir aussi

• Ajustement de loi de probabilité
• Fonction de Pearson
• Système de Johnson

v · m Lois de probabilité (liste)
Lois discrètes	à support fini 0 paramètre de forme Dirac Rademacher 1 paramètre de forme Benford Bernoulli uniforme discrète 2 paramètres de forme binomiale Zipf 3 paramètres de forme bêta-binomiale hypergéométrique N paramètres de forme multinomiale Poisson binomiale à support infini 0 paramètre de forme Gauss-Kuzmin 1 paramètre de forme géométrique logarithmique Poisson Yule-Simon zêta 2 paramètres de forme binomiale négative Conway-Maxwell-Poisson Skellam 3 paramètres de forme bêta-binomiale négative binomiale négative étendue Delaporte
Lois absolument continues	à support compact 0 paramètre de forme arc sinus cosinus surélevé demi-cercle parabolique uniforme continue Xenakis 1 paramètre de forme Bates Irwin-Hall triangulaire Kesten-McKay 2 paramètres de forme bêta Kumaraswamy logit-normale 3 paramètres de forme bêta décentrée bêta rectangulaire bêta PERT à support semi-infini 0 paramètre de forme demi-logistique demi-normale exponentielle Lévy normale repliée Rayleigh 1 paramètre de forme χ χ² Davis Erlang Fréchet Gamma Gompertz avec dérive inverse-χ² inverse-gamma inverse-gaussienne log-Cauchy log-Laplace log-logistique log-normale Nakagami normale généralisée v2 Pareto Rice Weibull 2 paramètres de forme χ non centrée χ² non centrée Benktander I Benktander II bêta prime Burr Dagum Fisher Gamma généralisée inverse-gaussienne généralisée normale tronquée 3 paramètres de forme bêta prime généralisée N paramètres de forme hyper-exponentielle hypo-exponentielle à support infini 0 paramètre de forme Cauchy Gumbel Holtsmark Landau Laplace logistique normale sécante hyperbolique Slash Voigt 1 paramètre de forme Gompertz normale asymétrique normale généralisée v1 Student 2 paramètres de forme géométrique stable stable z de Fisher
Autres types de lois	Lois à support mixte continu-discret normale rectifiée Lois à support variable Tukey-lambda Lois multidimensionnelles Discrètes Ewens (en) multinomiale Continues Dirichlet normale multidimensionnelle Matricielles Wishart Wishart inverse Lois directionnelles Univariantes von Mises Sphériques bidimensionnelles Kent Toroïdales bidimensionnelles Von Mises bivariante Multidimensionnelles Bingham Lois singulières Cantor Familles de lois Circulaire (en) Poisson composé elliptique (en) exponentielle exponentielle naturelle (en) d'entropie maximale de Pearson de Burr de Johnson fractale parabolique tronquée enveloppée

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