Số Lucas

Số Lucas là một dãy số được đặt tên nhằm vinh danh nhà toán học François Édouard Anatole Lucas (1842–1891), người đã nghiên cứu dãy số Fibonacci, dãy số Lucas và các dãy tương tự. Giống như dãy Fibonacci, mỗi số trong dãy Lucas bằng tổng của hai số liền trước nó. Dãy số gồm thương giữa hai số Lucas liền nhau sẽ hội tụ đến giới hạn bằng tỉ lệ vàng.

Tuy vậy khác với dãy Fibonacci, hai số đầu tiên trong dãy Lucas là L₀ = 2 và L₁ = 1 (trong dãy Fibonacci là 0 và 1). Chính vì thế mà một số tính chất của số Lucas sẽ khác với số Fibonacci.

Công thức truy hồi của dãy:

${\displaystyle L_{n}:={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\L_{n-1}+L_{n-2}&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}}$

Các số đầu tiên của dãy Lucas:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123,... (dãy số A000032 trong bảng OEIS)

Số Lucas có chỉ số âm

Sử dụng công thức truy hồi ngược lại L_n-2 = L_n - L_n-1 để mở rộng số Lucas tới các số nguyên âm. Ta có thể thêm các giá trị sau vào đãy Lucas (với ${\displaystyle -5\leq {}n\leq 5}$): (... -11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11,...).

Các số Lucas âm có tính chất (chứng minh bằng quy nạp):

• ${\displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.\!}$

Tính chất

Công thức tổng quát

Công thức tổng quát của số Lucas:

${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,,}$

với ${\displaystyle \varphi }$ bằng Tỉ lệ vàng.

Một tính chất khá thú vị, ${\displaystyle L_{n}}$ là số nguyên gần với ${\displaystyle \varphi ^{n}}$ nhất.

Mối liên hệ với các số Fibonacci

Số Lucas liên hệ với số Fibonacci bởi các hằng đẳng thức sau:

• ${\displaystyle \,L_{n}=F_{n-2}+F_{n}}$
• tổng quát hơn là công thức sau:

${\displaystyle L_{n}=F_{k+2}.L_{n-k}+F_{k+1}.L_{n-k-1}}$ với mọi k<n; (2.1)

• ${\displaystyle \,L_{n}^{2}=5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}}$, từ hệ thức liên hệ này suy ra tỉ số ${\displaystyle L_{n} \over F_{n}\,}$ tiến đến ${\displaystyle {\sqrt {5}}\,}$ khi ${\displaystyle n\,}$ tiến đến +∞.

• ${\displaystyle \,F_{2n}=L_{n}F_{n}}$

• ${\displaystyle \,F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}}$

Khi chỉ số là số nguyên tố

L_n đồng dư với 1 mod n nếu n là số nguyên tố. Ngoài ra, L_n cũng có tính chất này với một số trị khác của n.

Tính chia hết giữa các số Lucas

L_mn chia hết cho L_n nếu m là số lẻ. Điều đó dẫn đến điều kiện cần của n để L_n là số nguyên tố.

Số nguyên tố Lucas

Số nguyên tố Lucas là số Lucas, và đồng thời là một nguyên tố. Các số nguyên tố Lucas nhỏ nhất được biết là:

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349,... (dãy số A005479 trong bảng OEIS)

Nếu L_n là số nguyên tố thì n bằng 0, nguyên tố, hoặc là lũy thừa của 2.^[1]

Các số Lucas có dạng L_{${\displaystyle 2^{m}}$} là số nguyên tố được biết cho đến nay là ${\displaystyle m}$ = 1, 2,3 và 4.

Đa thức Lucas

Các đa thức Lucas được xác định mô phỏng theo dãy số Lucas. Dãy đa thức này được xây dựng bằng công thức truy hồi như sau:

${\displaystyle L_{n}(x)={\begin{cases}2,&{\mbox{if }}n=0\\x,&{\mbox{if }}n=1\\xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2\end{cases}}}$

Sau đây là công thức dạng tường minh của các đa thức Lucas đầu tiên:

${\displaystyle L_{0}(x)=2\,}$

${\displaystyle L_{1}(x)=x\,}$

${\displaystyle L_{2}(x)=x^{2}+2\,}$

${\displaystyle L_{3}(x)=x^{3}+3x\,}$

${\displaystyle L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,}$

${\displaystyle L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,}$

${\displaystyle L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2\,}$

Xem thêm

• Số Fibonacci

Chú thích

Liên kết ngoài

• Weisstein, Eric W., "Lucas Number" từ MathWorld.
• Dr Ron Knott Lưu trữ 2005-11-26 tại Wayback Machine
• Lucas numbers and the Golden Section Lưu trữ 2005-10-30 tại Wayback Machine
• A Lucas Number Calculator can be found here. Lưu trữ 2007-02-16 tại Wayback Machine
• A Tutorial on Generalized Lucas Numbers