Phép giao

Cho A và B là hai tập hợp. Giao hay Intersection của A và B là tập gồm những phần tử thuộc cả A và B, ngoài ra không có phần tử nào khác. Giao của A và B được viết là "A ∩ B".^[1] Nói một cách đơn giản, giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử mà cả A và B có điểm chung.

${\displaystyle A\cap B=\{x|\ x\in A\ {\text{và}}\ x\in B\}}$

Biểu tượng giao nhau đôi khi được thay thế bằng từ "và" giữa hai tập hợp. Từ này gợi ý ký hiệu nhỏ gọn hơn cho giao lộ thường được sử dụng. Một cách để nhớ rằng biểu tượng ∩ này đề cập đến giao lộ là nhận thấy sự giống nhau của nó với chữ A viết hoa, viết tắt của từ "và" trong tiếng Anh.

Ký hiệu và ví dụ

Phép giao được ký hiệu bằng "${\displaystyle \cap }$"; Ví dụ chẳng hạn:

• ${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}}$
• ${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\varnothing }$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N} }$
• ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}}$

Giao của nhiều hơn hai tập hợp (phép giao tổng quát) thường được viết là:

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}}$

tương tự với ký hiệu sigma viết hoa.

Định nghĩa

Giao của hai tập hợp ${\displaystyle A}$ và ${\displaystyle B,}$, ký hiệu bởi ${\displaystyle A\cap B,}$^[2] là tập các đối tượng vừa thuộc tập hợp ${\displaystyle A}$ và vừa thuộc tập hợp ${\displaystyle B.}$ Khi viết bằng ký hiệu:

Nghĩa là, ${\displaystyle x}$ là phần tử của giao ${\displaystyle A\cap B}$ khi và chỉ khi ${\displaystyle x}$ vừa là phần tử của ${\displaystyle A}$ và vừa là phần tử của ${\displaystyle B.}$^[2]

Thêm ví dụ:

• Giao của hai tập {1, 2, 3} và {2, 3, 4} là {2, 3}.
• Số 9 không nằm trong phần giao của tập các số nguyên tố {2, 3, 5, 7, 11, ...} và tập các số lẻ {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}, là bởi vì số 9 không nguyên tố.

Tập hợp không giao nhau

Ta nói tập hợp ${\displaystyle A}$ giao với tập hợp ${\displaystyle B}$ nếu tồn tại phần tử ${\displaystyle x}$ vừa thuộc ${\displaystyle A}$ vừa thuộc ${\displaystyle B,}$.

Ngược lại, ta nói tập hợp ${\displaystyle A}$ và ${\displaystyle B}$ không giao nhau hay rời nhau nếu ${\displaystyle A}$ không giao với ${\displaystyle B.}$ Nghĩa là chúng không chung một phần tử nào cả. Tập hợp ${\displaystyle A}$ và ${\displaystyle B}$ không giao nhau nếu giao của chúng là tập rỗng, được ký hiệu là ${\displaystyle A\cap B=\varnothing .}$

Ví dụ chẳng hạn, tập ${\displaystyle \{1,2\}}$ và ${\displaystyle \{3,4\}}$ không giao nhau, còn tập các số chẵn giao với tập của các số chia hết cho 3 tại các bội của 6.

Tính chất đại số

Phép giao là phép toán có tính kết hợp; tức là, cho bất kỳ tập ${\displaystyle A,B,}$ và ${\displaystyle C,}$ ta có

Do vậy, dấu ngoặc có thể bỏ đi mà không làm mất giá trị: cả hai cái trên đều có thể viết thành ${\displaystyle A\cap B\cap C}$. Phép giao còn có tính giao hoán. Tức là cho bất kỳ tập ${\displaystyle A}$ và ${\displaystyle B,}$ ta có Giao của bất kỳ tập hợp với tập rỗng sẽ ra tập rỗng; nghĩa là cho bất kỳ tập hợp ${\displaystyle A}$, Ngoài ra, phép giao còn có tính lũy đẳng; tức là, cho bất kỳ tập ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle A\cap A=A}$. Tất cả tính chất này đều đương tự với phép hội.

Phép giao phân phối trên phép hợp và ngược lại. Nghĩa là cho bất kỳ tập ${\displaystyle A,B,}$ và ${\displaystyle C,}$ ta có

Trong vũ trụ ${\displaystyle U,}$ ta định nghĩa phần bù ${\displaystyle A^{c}}$ của ${\displaystyle A}$ là tập các phần tử thuộc ${\displaystyle U}$ nhưng không thuộc ${\displaystyle A.}$ Sử dụng định nghĩa này, giao của ${\displaystyle A}$ và ${\displaystyle B}$ có thể viết lại thành bù của hợp của bù của mỗi phần tử, dễ dàng suy ra từ luật De Morgan:

Giao của họ tập hợp

Giao của họ khác rỗng

Dạng tổng quát nhất là giao của một họ tập hợp . Nếu ${\displaystyle M}$ là tập hợp khác rỗng trong đó các phần tử là các tập hợp, thì ${\displaystyle x}$ là phần tử của giao của ${\displaystyle M}$ khi và chỉ khi với mọi phần tử ${\displaystyle A}$ thuộc ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle x}$ là phần tử thuộc ${\displaystyle A.}$ Viết bằng ký hiệu:

Ký hiệu này có nhiều các viết khác khác nhau. Các nhà lý thuyết tập hợp sẽ đôi khi viết "${\displaystyle \bigcap M}$", trong khi một số sẽ viết "${\displaystyle {\bigcap }_{A\in M}A}$". Ký hiệu sau có thể tổng quát hóa thành "${\displaystyle {\bigcap }_{i\in I}A_{i}}$", tức là giao của họ ${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}.}$ Trong đó ${\displaystyle I}$ là tập chỉ số khác rỗng và ${\displaystyle A_{i}}$ là tập hợp với mọi ${\displaystyle i\in I.}$

Khi tập chỉ số ${\displaystyle I}$ là tập các số tự nhiên, ký hiệu giao có thể viết lại thành:

giống với chuỗi.

Nếu khó khi định dạng, ta cũng có thể viết "${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots }$".

Giao của họ rỗng

Trong phần trước, ta vẫn chưa xét trường hợp ${\displaystyle M}$ là tập hợp rỗng (${\displaystyle \varnothing }$). Lý do là bởi: Giao của họ ${\displaystyle M}$ được định nghĩa là tập (xem ký pháp xây dựng tập hợp)

Nếu ${\displaystyle M}$ rỗng, thì không có tập ${\displaystyle A}$ nào thuộc ${\displaystyle M}$, nên câu hỏi trở thành "phần tử ${\displaystyle x}$ nào sẽ thỏa mãn điều kiện trong định nghĩa?". Câu trả lời có vẻ như là mọi phần tử ${\displaystyle x}$. Khi ${\displaystyle M}$ rỗng, điều kiện cho trên là một ví dụ của chân lý rỗng. Do đó, giao của họ rỗng phải là tập phổ dụng (phần tử đơn vị cho phép giao),^[3] , song trong lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel, tập phổ dụng không tồn tại.

Mặc dù vậy, nếu giới hạn về các tập con của một tập ${\displaystyle X}$ cho trước, thì giao của họ rỗng các tập con của ${\displaystyle X}$ được định nghĩa tốt. Trong trường hợp này, nếu ${\displaystyle M}$ rỗng thì giao của nó sẽ là ${\displaystyle \bigcap M=\bigcap \varnothing =\{x\in X:x\in A{\text{ với mọi }}A\in \varnothing \}}$. Bởi ${\displaystyle x\in X}$ đều thỏa mãn điều kiện, nên giao của họ rỗng các tập con của ${\displaystyle X}$ là toàn bộ của ${\displaystyle X.}$ Nói bằng công thức, ${\displaystyle \bigcap \varnothing =X.}$Cách hiểu này khớp với ý nghĩ rằng khi họ các tập con càng ngày càng nhỏ đi thì giao tương ứng của chúng càng trở nên lớn hơn; và trong trường hợp đặc biệt, giao của họ rỗng sẽ là toàn bộ tập nền.

Xem thêm

• Tập hợp
• Phép hợp
• Giao (Hình học Euclid)
• Đồ thị giao
• Lý thuyết giao
• Danh sách các định thức và quan hệ tập hợp
• Phép hội
• Lý thuyết tập hợp ngây thơ
• Hiệu đối xứng – Các phần tử chỉ thuộc duy nhất một trong hai tập hợp

Tham khảo

Thư mục

• Nguyễn Tiến Quang (2008), Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục
• Hoàng Xuân Sính (1972), Đại số đại cương (tái bản lần thứ tám), Nhà xuất bản giáo dục
• Devlin, K. J. (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory . New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
• Munkres, James R. (2000). “Set Theory and Logic”. Topology . Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Rosen, Kenneth (2007). “Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums”. Discrete Mathematics and Its Applications . Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0.

Liên kết ngoài

• Weisstein, Eric W., "Intersection" từ MathWorld.