Ma trận Cauchy

Trong toán học, một ma trận Cauchy, được đặt tên theo tên nhà toán học Augustin-Louis Cauchy, là một ma trận m×n với các phần tử aij ở dạng

a i j = 1 x i − y j ; x i − y j ≠ 0 , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n {\displaystyle a_{ij}={\frac {1}{x_{i}-y_{j}}};\quad x_{i}-y_{j}\neq 0,\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n}

với x i {\displaystyle x_{i}} và y j {\displaystyle y_{j}} là các phần tử thuộc Trường (đại số) F {\displaystyle {\mathcal {F}}} , và ( x i ) {\displaystyle (x_{i})} và ( y j ) {\displaystyle (y_{j})} là các dãy đơn ánh (chúng không chứa các phần tử lặp lại; các phần tử là riêng biệt nhau).

Ma trận Hilbert là trường hợp đặc biệt của ma trận Cauchy với

x i − y j = i + j − 1. {\displaystyle x_{i}-y_{j}=i+j-1.\;}

Mỗi ma trận con của ma trận Cauchy cũng là một ma trận Cauchy.

Định thức Cauchy

Các số a 1 , a 2 , … , a n , b 1 , b 2 , … , b n {\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}} là các số thực cho trước sao cho a i + b j ≠ 0 ∀ i , j {\displaystyle a_{i}+b_{j}\not =0\forall i,j} .

Định thức Cauchy (Cô-si) được định nghĩa như sau:

D = | 1 a 1 + b 1 1 a 1 + b 2 … 1 a 1 + b n 1 a 2 + b 1 1 a 2 + b 2 … 1 a 2 + b n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 a n + b 1 1 a n + b 2 … 1 a n + b n | {\displaystyle D={\begin{vmatrix}{\frac {1}{a_{1}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{1}+b_{2}}}&\ldots &{\frac {1}{a_{1}+b_{n}}}\\{\frac {1}{a_{2}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{2}+b_{2}}}&\ldots &{\frac {1}{a_{2}+b_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {1}{a_{n}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{n}+b_{2}}}&\ldots &{\frac {1}{a_{n}+b_{n}}}\\\end{vmatrix}}}

Tính được:

D = ∏ i ≠ j ( a j − a i ) ∏ i ≠ j ( b j − b i ) ∏ i , j ( a i + b j ) {\displaystyle D={\frac {\prod _{i\not =j}(a_{j}-a_{i})\prod _{i\not =j}(b_{j}-b_{i})}{\prod _{i,j}(a_{i}+b_{j})}}}

Xem thêm

Tham khảo

  • A. Gerasoulis (1988). “A fast algorithm for the multiplication of generalized Hilbert matrices with vectors” (PDF). Mathematics of Computation. 50 (181): 179–188. doi:10.2307/2007921.
  • I. Gohberg, T. Kailath, V. Olshevsky (1995). “Fast Gaussian elimination with partial pivoting for matrices with displacement structure” (PDF). Mathematics of Computation. 64 (212): 1557–1576. doi:10.1090/s0025-5718-1995-1312096-x.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
  • P. G. Martinsson, M. Tygert, V. Rokhlin (2005). “An O ( N log 2 ⁡ N ) {\displaystyle O(N\log ^{2}N)} algorithm for the inversion of general Toeplitz matrices” (PDF). Computers & Mathematics with Applications. 50: 741–752. doi:10.1016/j.camwa.2005.03.011.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
  • S. Schechter (1959). “On the inversion of certain matrices” (PDF). Mathematical Tables and Other Aids to Computation. 13 (66): 73–77. doi:10.2307/2001955.
Bài viết này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn.
  • x
  • t
  • s