RC devresi

Direnç - kapasitör devresi (RC devresi) veya RC filtresi direnç ve kapsitörlerden oluşan ve gerilim veya akım kaynağı tarafından beslenen bir elektrik devresidir.

Başlangıç

Üç temel, doğrusal (lineer) analog devre elemanı vardır: direnç (R), kapasitör (C) ve bobin (L). Bunların dört önemli kombinasyonu vardır: RC devresi, RL devresi, LC devresi ve RLC devresi olarak bilinirler. Bu devreler, analog elektroniğin en önemli devrelerini oluşturur. Özellikle, pasif filtrelerde çokça kullanılır. Burada RC devresinin hem seri hem de paralel diyagramları gösteriliyor.

Karmaşık empedans

Bir kapasitörün kapasitansı C (farad) ise karmaşık empedansı Z_C (ohm)

${\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{sC}}}$ dir.

s açısal frekans gösterir ve genellikle bir karmaşık sayıdır,

${\displaystyle s\ =\ \sigma +j\omega }$

Burada

• j sanal (imajiner) birimi gösterir:

${\displaystyle j^{2}=-1}$

• ${\displaystyle \sigma \ }$ gerçek (reel) kısım ve
• ${\displaystyle \omega \ }$ sanal kısım, yani sinüzoidal olan açısal frekans (radyan/saniye)tır.

Seri devre

Devrede kapasitör üzerindeki gerilim:

${\displaystyle V_{C}(s)={\frac {1/Cs}{R+1/Cs}}V_{in}(s)={\frac {1}{1+RCs}}V_{in}(s)}$

ve direnç üzerindeki gerilim:

${\displaystyle V_{R}(s)={\frac {R}{R+1/Cs}}V_{in}(s)={\frac {RCs}{1+RCs}}V_{in}(s)}$dir.

Transfer fonksiyonları

Kapasitörün transfer fonksiyonu

${\displaystyle H_{C}(s)={V_{C}(s) \over V_{in}(s)}={1 \over 1+RCs}}$

ve aynı şekilde direncin transfer fonfsiyonu

${\displaystyle H_{R}(s)={V_{R}(s) \over V_{in}(s)}={RCs \over 1+RCs}}$ dir.

Kutuplar ve sıfırlar

Her iki transfer fonksiyonunda da tek kutup vardır.

${\displaystyle s=-{1 \over RC}}$ .

Ek olarak, direnç için orijinde sıfır vardır.

Kazanç ve faz açısı

Kazanç iki etkene bağlıdır: Biri

${\displaystyle G_{C}=|H_{C}(j\omega )|=\left|{\frac {V_{C}(j\omega )}{V_{in}(j\omega )}}\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}}$

diğeri ise

${\displaystyle G_{R}=|H_{R}(j\omega )|=\left|{\frac {V_{R}(j\omega )}{V_{in}(j\omega )}}\right|={\frac {\omega RC}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}}$ dir

ve faz açıları:

${\displaystyle \phi _{C}=\angle H_{C}(j\omega )=\tan ^{-1}\left(-\omega RC\right)}$

ve

${\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(j\omega )=\tan ^{-1}\left({\frac {1}{\omega RC}}\right)}$.

Bu ifadeler birlikte kullanılabilir ve genellikle fazör çıkışı temsil eder:

${\displaystyle V_{C}\ =\ G_{C}V_{in}e^{j\phi _{C}}}$

${\displaystyle V_{R}\ =\ G_{R}V_{in}e^{j\phi _{R}}}$.

Akım

Seri devrelerde akım her yerde aynıdır:

${\displaystyle I(s)={\frac {V_{in}(s)}{R+1/Cs}}={Cs \over 1+RCs}V_{in}(s)}$

İmpuls cevabı

Her gerilim için impuls cevabı transfer fonksiyonunun karşılığı olan ters Laplace dönüşümüdür. Bu devre bir darbenin veya delta fonksiyonunun cevabının bir giriş gerilimine bağlı olduğunu gösterir.

Kapasitörün gerilimi için impuls cevabı

${\displaystyle h_{C}(t)={1 \over RC}e^{-t/RC}u(t)={1 \over \tau }e^{-t/\tau }u(t)}$

Burada u(t) Heaviside adım fonksiyonudur ve

${\displaystyle \tau \ =\ RC}$

zaman sabitidir.

Aynı şekilde direnç geriliminin impuls cevabı

${\displaystyle h_{R}(t)=\delta (t)-{1 \over RC}e^{-t/RC}u(t)=\delta (t)-{1 \over \tau }e^{-t/\tau }u(t)}$

Burada da δ(t) Dirac delta fonksiyonudur.

Frekans uzayı faktörleri

${\displaystyle \omega \to \infty }$'a yaklaştıkça:

${\displaystyle G_{C}\to 0}$

${\displaystyle G_{R}\to 1}$ olur.

${\displaystyle \omega \to 0}$'a yaklaştıkça:

${\displaystyle G_{C}\to 1}$

${\displaystyle G_{R}\to 0}$ olur.

${\displaystyle G_{C}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$.

Yukarıdaki denklemin çözümünden şu sonuç elde edilir:

${\displaystyle \omega _{c}={\frac {1}{RC}}\ \mathrm {rad/s} }$

veya

${\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}\ \mathrm {Hz} }$

Bu da filtrenin orijinal gücün yarısına düşeceği frekansıdır.

${\displaystyle \omega \to 0}$'a yaklaştıkça:

${\displaystyle \phi _{C}\to 0}$

${\displaystyle \phi _{R}\to 90^{\circ }=\pi /2^{c}}$.

${\displaystyle \omega \to \infty }$'a yaklaştıkça:

${\displaystyle \phi _{C}\to -90^{\circ }=-\pi /2^{c}}$

${\displaystyle \phi _{R}\to 0}$

Zaman uzayı faktörleri

Zaman uzayını en doğru şekilde elde etmek için Laplace dönüşümünü ifade eden yukarıdaki ${\displaystyle V_{C}}$ ve ${\displaystyle V_{R}}$ yapıları kullanılır. Bu etkin dönüşümler ${\displaystyle j\omega \ s}$ e dönüştürülür.Adım girişi yaklaşımı yapılır. (örn. Önce ${\displaystyle V_{in}=0}$ yapılarak ${\displaystyle t=0}$ bulunur, sonra ${\displaystyle V_{in}=V}$ yapılır):

${\displaystyle V_{in}(s)=V{\frac {1}{s}}}$

${\displaystyle V_{C}(s)=V{\frac {1}{1+sRC}}{\frac {1}{s}}}$

ve

${\displaystyle V_{R}(s)=V{\frac {sRC}{1+sRC}}{\frac {1}{s}}}$.

Kısmi kesir açılımları ve ters Laplace dönüşümüü:

${\displaystyle \,\!V_{C}(t)=V\left(1-e^{-t/RC}\right)}$

${\displaystyle \,\!V_{R}(t)=Ve^{-t/RC}}$.

Bu eşitlikler kapasitör ve direnç üzerindeki gerilimleri sırasıyla hesaplamak içindir. Kapasitörün dolması sırasındaki eşitlikler; boşalması sırasındaki eşitliklerin tam tersidir. Bu eşitlikler şarj ve akım ilişkisi C=Q/V ve V=IR (Ohm Kanununa bakın) kullanılarak tekrar yazılabilir.

Bu eşitlikler seri RC devrelerinde bir zaman sabitinin olduğunu gösteriyor, genellikle ${\displaystyle \tau =RC}$ ifadesi voltaj karşısında bileşenleri ya (C karşısında ) ya yükselir veya (R karşısında) bu son değerin ${\displaystyle 1/e}$ ye birlikte düşer. Böylece ${\displaystyle \tau }$ zamanında ${\displaystyle V(1-1/e)}$ ${\displaystyle V_{C}}$ ye ve ${\displaystyle V(1/e)}$ ${\displaystyle V_{R}}$ ye ulaşabilir

Değişim oranı her ${\displaystyle \tau }$ bir fraksiyonel ${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{e}}\right)}$ dir . Böylece, ${\displaystyle t=N\tau }$ dan ${\displaystyle t=(N+1)\tau }$'ye içinde giden voltaj bu seviyeden yolun yaklaşık 63.2 % si taşınacak ${\displaystyle t=N\tau }$ de yönünde bu sonuç değerdir. Böylece C ${\displaystyle \tau }$,sonrasında yaklaşık 63.2 % ye dolacak ve yaklaşık ${\displaystyle 5\tau }$ sonrasında aslında tam dolacak (99.3 %) .Eğer voltaj kaynağı bir kısa-devre ile yerdeğiştirirse, C 0 yönünde ${\displaystyle V}$'den t ile C karşısında voltaj C tam yükü ile üstel şekilde damlar.C ${\displaystyle \tau }$ sonrasında yaklaşık 36.8 % ye düşmüş ve aslında ${\displaystyle 5\tau }$ sonrasında aslında tamamen boşalmış (0.7 %) olacak. Unutmadan ${\displaystyle I}$ akımı Ohm Kanunu yoluyla R karşısında voltaj olarak akım davranışı içinde bunu yapar

Ayrıca diferensiyel denklemler'in çözümü ile elde edilebilen bu sonuçlar devreyi tanımlayabilir:

${\displaystyle {\frac {V_{in}-V_{C}}{R}}=C{\frac {dV_{C}}{dt}}}$

ve

${\displaystyle \,\!V_{R}=V_{in}-V_{C}}$.

İlk denklem bir integral alan faktör kullanılarak ve ikincisi takiben kolayca çözülür; çözümler böylece Laplace dönüşümleri yoluyla tam aynısı olarak elde edilir.

İntegral işlemi

yüksek frekanstada kapasitör karşısında çıkış düşünülür yani.

${\displaystyle \omega \gg {\frac {1}{RC}}}$.

Bunun anlamı bu kapasitörün dolmasına zaman yetersizdir ve böylece bu voltaj çok küçüktür. Böylece direnç karşısında voltaj yaklaşık giriş voltajına eşittir. ${\displaystyle I}$ için yukarıda verilen bağıntı düşünüldüğünde şuna bakalım:

${\displaystyle I={\frac {V_{in}}{R+1/j\omega C}}}$

ama unutmadan frekans durumu şu şekilde tanımlanır

${\displaystyle \omega C\gg {\frac {1}{R}}}$

böylece

${\displaystyle I\approx {\frac {V_{in}}{R}}}$ bu sadece Ohm kanunu'dur

Şimdi,

${\displaystyle V_{C}={\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}Idt}$

böylece

${\displaystyle V_{C}\approx {\frac {1}{RC}}\int _{0}^{t}V_{in}dt}$,

bu kapasitörün karşısında bir integratör'dür

Türev işlemi

düşük frekansta çıkış karşısında düşünüldüğünde; yani,

${\displaystyle \omega \ll {\frac {1}{RC}}}$.

Bunun anlamı bu kapasitör voltajı kadar yukarı şarja zaman var ve voltaj kaynağına neredeyse eşittir. ${\displaystyle I}$ için yine bağıntı düşünüldüğünde o zaman

${\displaystyle R\ll {\frac {1}{\omega C}}}$,

böylece

${\displaystyle I\approx {\frac {V_{in}}{1/j\omega C}}}$

${\displaystyle V_{in}\approx {\frac {I}{j\omega C}}\approx V_{C}}$

Şimdi,

${\displaystyle V_{R}=IR=C{\frac {dV_{C}}{dt}}R}$

${\displaystyle V_{R}\approx RC{\frac {dV_{in}}{dt}}}$

bu bir diferensiyatör karşısında dirençtir.

Daha kesin integrasyon ve diferansiyasyon giriş üzerinde uygun olarak dirençleri ve kapasitörler yerleştirerek ve operasyonel amplifikatörlerin döngü geribeslemesi sağlanabilir.

Paralel devre

Paralel RC devresi genellikle seri devreden daha az ilgi görür. Çünkü çıkış gerilimi ${\displaystyle V_{out}}$, giriş gerilimi olan ${\displaystyle V_{in}}$ e eşittir. — Sonuç olarak, bu devre bir akım kaynağı tarafından beslenen bir filtre değildir.

Karmaşık empedans:

${\displaystyle I_{R}={\frac {V_{in}}{R}}\,}$

ve

${\displaystyle I_{C}=j\omega CV_{in}\,}$.

Bu kapasitör akımının 90° olduğunu gösteriyor.direnç(ve kaynak) akımı ile fazın çıkışı. Karşıt olarak, diferansiyel denklemler kullanılarak yönetiliyor:

${\displaystyle I_{R}={\frac {V_{in}}{R}}}$

ve

${\displaystyle I_{C}=C{\frac {dV_{in}}{dt}}}$.

Bir basamak giriş için (bu etkili bir 0 Hz veya DC işaretidir), girişin türevi ${\displaystyle t=0}$ 'da bir uyarıdır.Böylece kapasitör çok hızlı tam yüke ulaşır ve bir açık devre olur— böylece bir kapasitörün DC davranışı iyi bilinir.

Bakınız

• Elektriksel ağ
• Elektronik konularının Listesi

Dış bağlantılar

• RC Filter Calculator14 Temmuz 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.