0 ile sonsuza kadar devreden 9'lardan oluşan 0,99999... sayısı
,
veya
şekillerinde gösterilen ve 1'e eşit olan matematiksel ifade. Bu eşitliğin ispatları:
Cebirsel ispatlar
Devirli Ondalık Sayılardan
Her rasyonel ifade sonlu sayıda rakam barındıran ondalık sayılarla ifade edilemez. Mesela;
![{\displaystyle {\frac {5}{9}}=0{,}{\bar {5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d044435973869c89ade56b55d923572b3a2fdd42)
gibi. Eğer ikinci eşitliğin her iki tarafını 3 ile çarpacak olursak
![{\displaystyle {\frac {3}{3}}=3\times 0{,}{\bar {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1c6fa8ed983a5c2563d3d0bcf5d4c8288de2fd)
elde ederiz.
Dört İşlemden
0,9 sayımıza matematik dilinde bilinmeyen ifadelere verilen x diyelim.
![{\displaystyle x=0{,}{\bar {9}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9c4f950dbff02c91167e8204a88fa7b0bd747fc)
Her iki tarafı 10 ile çarpalım.
![{\displaystyle 10x=9{,}{\bar {9}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f18d22d969a64dbed1d2d3a81ec3ed0eaf4c69)
Her iki taraftan sayının kendisini, yani x i çıkaralım
![{\displaystyle 9x=10x-x=9{,}{\bar {9}}-0{,}{\bar {9}}=9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0c54440257c38ead57bfcbdbe28d3e67822f975)
Sadeleştirelim.
![{\displaystyle x=1{\underline {}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9c1dafa08ed64ee0d7f0a4a89f5f155ded42985)
Limitten
Sayımızı limit dilinde ifade edelim:
![{\displaystyle 0{,}{\bar {9}}\ldots =\lim _{n\to \infty }0{,}\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8df67dbe225c1a7d7a473a2315a0a976f77bbe6c)
n sonsuza giderken
ifadesi 0'a eşittir. Dolayısıyla;
dir.
Sonsuz Serilerden
Teorem:
ve a sabit sayı olmak üzere
dir.
Genel terimi
ve sabit sayısı 9 olan seri 0, (9)dur. Teorimizi sayımıza uygularsak
olduğunu görebiliriz.
Dış bağlantılar
- Why does 0.9999… = 1 ? (İng. neden 0.(9)=1 ?13 Kasım 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.