Utökade reella tallinjen

Utökade reella tallinjen är ett begrepp inom matematik. Det är den reella tallinjen med två extra punker: en "negativ" och en "positiv oändlighet" med beteckningarna − ∞ {\displaystyle -\infty } och ∞ {\displaystyle \infty } . Utökade reella tallinjen är viktig till exempel inom måtteori och integrationsteori.

Formell definition

Låt R {\displaystyle \mathbb {R} } vara reella tallinjen. Utökade reella tallinjen är en mängd

R ¯ := R ∪ { − ∞ } ∪ { ∞ } , {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty \}\cup \{\infty \},}

där punkerna − ∞ {\displaystyle -\infty } och ∞ {\displaystyle \infty } uppfyller följande:

  • − ∞ < a < ∞ {\displaystyle -\infty <a<\infty } för alla a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} }
  • − ( ∞ ) = − ∞ {\displaystyle -(\infty )=-\infty } och − ( − ∞ ) = ∞ {\displaystyle -(-\infty )=\infty }
  • ∞ + ∞ = ∞ {\displaystyle \infty +\infty =\infty } och ∞ ⋅ ∞ = ∞ {\displaystyle \infty \cdot \infty =\infty }
  • a ⋅ ∞ = ∞ ⋅ a = ∞ {\displaystyle a\cdot \infty =\infty \cdot a=\infty } för alla a > 0 {\displaystyle a>0\,}
  • a ( − ∞ ) = ( − ∞ ) a = − ∞ {\displaystyle a(-\infty )=(-\infty )a=-\infty } för alla a > 0 {\displaystyle a>0\,}
  • a ⋅ ∞ = ∞ ⋅ a = − ∞ {\displaystyle a\cdot \infty =\infty \cdot a=-\infty } för alla a < 0 {\displaystyle a<0\,}
  • a ( − ∞ ) = ( − ∞ ) a = ∞ {\displaystyle a(-\infty )=(-\infty )a=\infty } för alla a < 0 {\displaystyle a<0\,}
  • a + ∞ = ∞ + a = ∞ {\displaystyle a+\infty =\infty +a=\infty } för alla a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} }
  • ∞ − a = ∞ {\displaystyle \infty -a=\infty } för alla a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} }
  • a − ∞ = − ∞ {\displaystyle a-\infty =-\infty } för alla a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} }
  • a ∞ = 0 {\displaystyle {\frac {a}{\infty }}=0} för alla a ∈ R ∖ { 0 } {\displaystyle a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}
  • a 0 = ∞ {\displaystyle {\frac {a}{0}}=\infty } för alla a > 0 {\displaystyle a>0\,}
  • a 0 = − ∞ {\displaystyle {\frac {a}{0}}=-\infty } för alla a < 0 {\displaystyle a<0\,}

Ibland, till exempel inom måtteori, definieras även:

  • 0 ⋅ ∞ = ∞ ⋅ 0 = 0 {\displaystyle 0\cdot \infty =\infty \cdot 0=0} och 0 ⋅ ( − ∞ ) = ( − ∞ ) ⋅ 0 = 0. {\displaystyle 0\cdot (-\infty )=(-\infty )\cdot 0=0.}

Uttrycken

  • ∞ ∞ {\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}} , ∞ 0 {\displaystyle {\frac {\infty }{0}}} , 0 ∞ {\displaystyle {\frac {0}{\infty }}} , ∞ − ∞ {\displaystyle \infty -\infty } och 0 0 {\displaystyle {\frac {0}{0}}}

är inte definierade i R ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}} .

Egenskaper

  • Det går att visa att paret ( R ¯ , ≤ ) {\displaystyle ({\overline {\mathbb {R} }},\leq )} är en ordnad mängd.

Se även