Spațiu topologic

Un spațiu topologic este o mulțime pe care s-a definit o structură pe baza căreia se definesc noțiunile de vecinătate, convergență și limită.

Ca definiție formală, un spațiu topologic este o pereche ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$, cu ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ (${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ desemnează mulțimea submulțimilor lui X), satisfăcând simultan următoarele proprietăți:

1. ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {T}}}$ și ${\displaystyle X\in {\mathcal {T}}}$
2. dacă ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {T}}}$, atunci ${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {T}}}$
3. dacă ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {T}}}$, atunci ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {A}}\in {\mathcal {T}}}$

Mulțimile din ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ se numesc mulțimi deschise. Proprietatea 1 spune că mulțimea vidă și spațiul însuși trebuie să fie mulțimi deschise. Proprietatea 2 cere ca orice intersecție de două mulțimi deschise să fie o mulțime deschisă; prin inducție matematică rezultă de aici că intersecția oricărei familii finite de mulțimi deschise este o mulțime deschisă. Proprietatea 3 cere ca reuniunea oricărei familii (nu neapărat finite) de mulțimi deschise să fie o mulțime deschisă.

Exemple

1. ${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{\emptyset ,X\}}$ este topologia „cea mai grosieră” ce poate fi definită pe o mulțime.
2. ${\displaystyle {\mathcal {T}}={\mathcal {P}}(X)}$ este topologia „cea mai fină” ce poate fi definită, numită topologia discretă.
3. Dacă d este o funcție distanță (o metrică) definită pe X (X este un spațiu metric), topologia indusă de metrica d are ca mulțimi deschise toate mulțimile care satisfac proprietatea că pentru fiecare punct există o bilă de rază nenulă inclusă în acea mulțime:

${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{A\in {\mathcal {P}}(X)|\forall x\in A,\exists \varepsilon \in (0,\infty ):B(x,\varepsilon )\subseteq A\}}$

unde ${\displaystyle B(x,\varepsilon )=\{y\in X|d(x,y)<\varepsilon \}}$ este bila (deschisă) de centru x și de rază ${\displaystyle \varepsilon }$.

Vecinătăți

Se numește vecinătate a unui punct ${\displaystyle x\in X}$ al unui spațiu topologic orice submulțime ${\displaystyle V\subseteq X}$ ce conține o mulțime deschisă ce conține punctul ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle \exists D\in {\mathcal {T}}\,:\ x\in D\subseteq V}$.

Submulțimi speciale ale unui spațiu topologic

Mulțimi închise

O submulțime a unui spațiu topologic X se numește închisă dacă complementul său față de spațiul X este o mulțime deschisă.

Din proprietățile mulțimilor deschisă rezultă că mulțimea vidă, întreg spațiul X, orice reuniune finită de mulțimi închise și orice intersecție (posibil infinită) de mulțimi închise este o mulțime închisă.

Mulțimi conexe

O submulțime M a unui spațiu topologic X se numește conexă dacă nu există nici o acoperire a ei prin două mulțimi deschise disjuncte:

${\displaystyle \not \exists A,B\in {\mathcal {T}},A\cap M\neq \emptyset ,B\cap M\neq \emptyset ,A\cap B=\emptyset ,A\cup B\supseteq M}$

Pentru întregul spațiu X, condiția de conexitate este echivalentă cu aceea de-a nu avea altă submulțime simultan închisă și deschisă decât mulțimea vidă și întregul spațiu.

Mulțimi compacte

O submulțime M a unui spațiu topologic X se numește compactă dacă din orice acoperire deschisă a ei se poate extrage o acoperire finită. Mai exact, pentru orice familie ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {T}}}$ satisfăcând ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}\supseteq M}$, există o subfamilie ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}\subseteq {\mathcal {F}}}$ satisfăcând ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}_{0}\supseteq M}$.

Extinderi ale conceptului

Pentru orice structură algebrică se poate introduce o topologie discretă.

Bibliografie

• Andrei Iacob, Metode topologice în mecanica clasică, Editura Academiei RSR, 1973.

Vezi și

• Bază (spațiu topologic)
• Varietate (matematică)
• Spațiu metric

Portal Matematică