Puterea a opta

În aritmetică și algebră, puterea a opta a unui număr n este rezultatul înmulțirii de opt ori a lui n cu el însuși, adică:

${\displaystyle n^{8}=n\times n\times n\times n\times n\times n\times n\times n.}$

Valoarea puterii a opta a unui număr se poate abține și prin înmulțirea numărului cu puterea a șaptea a sa, prin înmulțirea pătratului său cu puterea a șasea a sa, prin înmulțirea cubului său cu puterea a cincea a sa sau prin ridicarea la pătrat a puterii a patra a sa.

Șirul valorilor puterii a opta a numerelor naturale este:^[1]

0, 1, 256, 6561, 65536, 390625, 1679616, 5764801, 16777216, 43046721, 100000000, 214358881, 429981696, 815730721, 1475789056, 2562890625, 4294967296, 6975757441, 11019960576, 16983563041, 25600000000, 37822859361, 54875873536, 78310985281, 110075314176, ...

Algebră și teoria numerelor

Ecuațiile polinomiale de gradul al optulea au forma

${\displaystyle ax^{8}+bx^{7}+cx^{6}+dx^{5}+ex^{4}+fx^{3}+gx^{2}+hx+k=0.}$

Cel mai mic număr la puterea a opta cunoscut care poate fi exprimat printr-o sumă de opt numere la puterea a opta este^[2]

${\displaystyle 1409^{8}=1324^{8}+1190^{8}+1088^{8}+748^{8}+524^{8}+478^{8}+223^{8}+90^{8}.}$

Suma inverselor puterilor a opta nenule este funcția zeta Riemann evaluată la 8, care poate fi exprimată în funcție de puterea a opta a lui ${\displaystyle \pi }$:^[3]

${\displaystyle \zeta (8)={\frac {1}{1^{8}}}+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}=1.00407\dots }$

Acesta este un exemplu din expresia mai generală pentru evaluarea funcției zeta Riemann la numerele pare pozitive, în funcție de numerele Bernoulli:

${\displaystyle \zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}.}$

Note

Portal Matematică

v • d • m Numere figurative În plan centrate Număr centrat triunghiular Număr centrat pătratic Număr centrat pentagonal Număr centrat hexagonal Număr centrat heptagonal Număr centrat octogonal Număr centrat nonagonal Număr centrat decagonal Număr centrat endecagonal Număr centrat dodecagonal Număr stelat necentrate Număr triunghiular Număr pătratic Număr pentagonal Număr hexagonal Număr heptagonal Număr octogonal Număr nonagonal Număr decagonal Număr endecagonal Număr dodecagonal În spațiu 3D centrate Număr centrat tetraedric Număr centrat cubic Număr centrat octaedric Număr centrat dodecaedric Număr centrat icosaedric necentrate Număr tetraedric Număr cubic Număr octaedric Număr dodecaedric Număr icosaedric Număr octaedric stelat piramidale Număr piramidal pătratic Număr piramidal pentagonal Număr piramidal hexagonal Număr piramidal heptagonal În spațiu 4D necentrate Număr pentatopic Număr triunghiular pătratic Număr teseractic 5D - 8D necentrate 5-hipercubic 6-hipercubic 7-hipercubic 8-hipercubic Vezi și Număr platonician Listă de numere