Curbură constantă

În matematică curbura constantă este un concept din geometria diferențială. Aici, curbura se referă la curbura secțională a unui spațiu (mai exact, a unei varietăți) și determină geometria locală a acesteia printr-un singur număr. Se spune că curbura secțională este constantă dacă are aceeași valoare în fiecare punct și pentru fiecare plan tangent bidimensional în acel punct. De exemplu, o sferă este o suprafață cu curbură pozitivă constantă.

Clasificare

O varietate riemaniană⁠(d) cu curbură constantă poate fi clasificată în următoarele trei cazuri:[1]

  • geometrie eliptică – cu curbură secțională constantă pozitivă, exemplul tipic fiind sfera,
  • geometrie euclidiană – cu curbură secțională constantă nulă, exemplul tipic fiind planul,
  • geometrie hiperbolică – cu curbură secțională constantă negativă, exemplul tipic fiind pseudosfera.

Proprietăți

  • Orice spațiu de curbură constantă este local simetric⁠(d), adică tensorul de curbură este paralel ∇ R = 0 {\displaystyle \nabla \mathrm {R} =0} .
  • Orice spațiu de curbură constantă este local maximum de simetric, adică are un număr de 1 2 n ( n + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}n(n+1)} izometrii locale⁠(d), unde n {\displaystyle n} este dimensiunea spațiului.
  • Invers, există o afirmație similară, dar mai puternică: orice spațiu maximum de simetric, adică un spațiu care are 1 2 n ( n + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}n(n+1)} izometrii (globale), are curbură constantă.
  • (Teorema Killing–Hopf) acoperirea universală a unei varietăți cu curbură secțională constantă este unul dintre modelele de spațiu:
  • Un spațiu de curbură constantă care este geodezic complet se numește formă spațială[2], iar studiul formelor spațiale este strâns legat de cristalografia generalizată.
  • Două forme spațiale sunt izomorfe dacă și numai dacă au aceeași dimensiune, metricile lor au aceeași semnătură, iar curburile lor secționale sunt egale.

Note

  1. ^ a b c d Mihai Anastasiei, Capitolul 5: Clase remarcabile de suprafețe (curs, pp. 117–118), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2023-05-25
  2. ^ Raportare științifică, p. 2, Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2023-05-25

Bibliografie

  • en Moritz Epple (2003) From Quaternions to Cosmology: Spaces of Constant Curvature ca. 1873 — 1925, invited address to International Congress of Mathematicians
  • en Frederick S. Woods (). „Space of constant curvature”. The Annals of Mathematics. 3 (1/4): 71–112. doi:10.2307/1967636. JSTOR 1967636. 
Portal icon Portal Matematică