Teorema da continuidade de Kolmogorov

Em matemática, o teorema da continuidade de Kolmogorov é um teorema que garante que um processo estocástico que satisfaz certas condições quanto aos momentos de seus incrementos seja contínuo (ou, mais precisamente, tenha uma "versão contínua"), Recebe este nome em homenagem ao matemático soviético Andrei Kolmogorov.^[1]

Demonstração

Considere $(S,d)$ um espaço métrico completo tal que $d$ é ${\mathcal {B}}(S)\otimes {\mathcal {B}}(S)$ mensurável e considere $X:[0,+\infty )\times \Omega \to S$ um processo estocástico. Suponha que, para todos os tempos $T>0$ , há constantes positivas $\alpha ,\beta ,K$ tal que

$\mathbb {E} [d(X_{t},X_{s})^{\alpha }]\leq K|t-s|^{1+\beta }$

para todo $0\leq s,t\leq T$ . Então, há uma modificação de $X$ que é um processo contínuo, isto é, um processo ${\tilde {X}}:[0,+\infty )\times \Omega \to S$ tal que

${\tilde {X}}$ é um processo contínuo amostral;
Para todo momento $t\geq 0$ , $\mathbb {P} (X_{t}={\tilde {X}}_{t})=1$ .

Além disto, os caminhos de ${\tilde {X}}$ são localmente $\gamma$ -Hölder-contínuos para todo $0<\gamma <{\tfrac {\beta }{\alpha }}$ .^[2]

Exemplo

No caso do movimento browniano em $\mathbb {R} ^{n}$ , a escolha das constantes $\alpha =4$ , $\beta =1$ , $K=n(n+2)$ funcionará no teorema da continuidade de Kolmogorov. Além disto, para qualquer número inteiro positivo $m$ , as constantes $\alpha =2m$ , $\beta =m-1$ funcionarão para algum valor positivo de $K$ que depende de $n$ e $m$ .^[1]

Ver também

Teorema da extensão de Kolmogorov

Referências

↑ ^a ^b 1945-, Øksendal, B. K. (Bernt Karsten), (2003). Stochastic differential equations : an introduction with applications 6th ed. Berlin: Springer. ISBN 3540047581. OCLC 52203046
↑ Bell, Jordan (11 de junho de 2005). «The Kolmogorov continuity theorem, Hölder continuity, and the Kolmogorov-Chentsov theorem» (PDF). Departamento de Matemática da Universidade de Toronto. Consultado em 2 de outubro de 2017

v d e Processos estocásticos
Tempo discreto	Cadeias de Markov Passeio aleatório Autoevitante Processo de Bernoulli Processo de Galton–Watson Processo de Moran Variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas
Tempo contínuo	Processo de Bessel Movimento browniano Ponte Excursão Fracionário Geométrico Meander Processo de Cauchy Processo de Cox Processo de Feller Processo de Fleming–Viot Processo de Hunt Difusão de Itô Processo de Itô Processo Lévy Tempo local Processo aditivo de Markov Processo de McKean–Vlasov Processo Ornstein–Uhlenbeck Processo de Poisson Evolução de Schramm–Loewner Processo de Wiener Processo de nascimento e morte Processo de contato Passeio aleatório de tempo contínuo Processo empírico Difusão de salto
Ambos	Processo gaussiano Modelo Galves-Löcherbach Cadeias estocásticas com memória de alcance variável Modelo oculto de Markov Processo de Markov Martingale Ruído branco Processo regenerativo
Campos e outros	Processo de Dirichlet Medida de Gibbs Modelo de Hopfield Modelo de Ising Modelo de Potts Campo aleatório de Markov Processo de Pitman–Yor Grafo aleatório
Modelos de série temporal	Modelos ARCH ARIMA ARMA
Modelos financeiros	Black–Derman–Toy Black–Karasinski Chen Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Modelos atuariais	Bühlmann Cramér–Lundberg Sparre–Anderson
Modelos de filas	Fila M/M/1
Propriedades	Càdlàg Processo contínuo de Feller Gauss–Markov Markov Contínuo Reversível no tempo
Teoremas limites	Teorema central do limite Teorema de Donsker Teoria ergódica Teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko Lei dos grandes números Lei do logaritmo iterado Teorema de Sanov
Desigualdades	Burkholder–Davis–Gundy Kunita–Watanabe Martingale de Doob
Ferramentas	Fórmula de Cameron–Martin Convergência de variáveis aleatórias Exponencial de Doléans-Dade Teorema da decomposição de Doob–Meyer Fórmula de Dynkin Fórmula de Feynman–Kac Teorema de Girsanov Integral de Itô Lema de Itō Teorema da continuidade de Kolmogorov Teorema da extensão de Kolmogorov Métrica de Lévy–Prokhorov Teorema de Prokhorov Integral de Skorokhod Teorema da representação de Skorokhod Espaço de Skorokhod Equação diferencial estocástica Tanaka Integral de Stratonovich Espaço de Wiener Clássico Abstrato Princípio da reflexão
Disciplinas	Ciências atuariais Econometria Teoria ergódica Matemática financeira Teoria das probabilidades Teoria das filas Estatística Cálculo estocástico Série temporal Aprendizado de máquina
Categoria:Processos estocásticos