Grupoide (matemática)

 Nota: Não confundir com grupoide (estrutura algébrica).

Em matemática, grupoide é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto não-vazio com uma operação binária parcial, geralmente denotada pela concatenação, onde todo elemento possui um inverso. Um grupoide é uma generalização da estrutura de grupo, e também representa uma categoria pequena em que todos os morfismos são invertíveis.

Definição

Um grupoide pode ser definido a partir da teoria das categorias ou de forma axiomática.

Na teoria das categorias, um grupoide é uma categoria pequena C {\displaystyle {\mathcal {C}}} em que todo morfismo é invertível, isto é, é um isomorfismo.[1] Isto é:

  • A classe dos objetos O b j C {\displaystyle Obj_{\mathcal {C}}} e a classe dos morfismos M o r C ( A , B ) {\displaystyle Mor_{\mathcal {C}}(A,B)} são conjuntos, para quaisquer A , B ∈ O b j C {\displaystyle A,B\in Obj_{\mathcal {C}}} .
  • Para todo f ∈ M o r C ( A , B ) {\displaystyle f\in Mor_{\mathcal {C}}(A,B)} existe g ∈ M o r C ( B , A ) {\displaystyle g\in Mor_{\mathcal {C}}(B,A)} tal que f ∘ g = I d B {\displaystyle f\circ g=Id_{B}} e g ∘ f = I d A {\displaystyle g\circ f=Id_{A}} , isto é, g = f − 1 {\displaystyle g=f^{-1}}

Para a definição axiomática de grupoide[2], seja G {\displaystyle G} um conjunto não-vazio munido de uma operação binária definida parcialmente . Dados g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in G} , dizemos que existe g h {\displaystyle gh} se o produto estiver definido, e escrevemos ∃ g h {\displaystyle \exists gh} . Um elemento e ∈ G {\displaystyle e\in G} é dito identidade se ∃ e g {\displaystyle \exists eg} e ∃ g e {\displaystyle \exists ge} então e g = g = g e {\displaystyle eg=g=ge} . Então G {\displaystyle G} é um grupoide se satisfaz os seguintes axiomas:

  • Para todo g , h , l ∈ G {\displaystyle g,h,l\in G} , ∃ g ( h l ) {\displaystyle \exists g(hl)} se e somente se ∃ ( g h ) l {\displaystyle \exists (gh)l} e, neste caso, são iguais;
  • Para todo g , h , l ∈ G {\displaystyle g,h,l\in G} , ∃ g ( h l ) {\displaystyle \exists g(hl)} se e somente se ∃ g h {\displaystyle \exists gh} e ∃ h l {\displaystyle \exists hl} ;
  • Para cada g ∈ G {\displaystyle g\in G} existem (únicos) elementos d ( g ) , r ( g ) ∈ G {\displaystyle d(g),r(g)\in G} tais que g d ( g ) = g = r ( g ) g {\displaystyle gd(g)=g=r(g)g} . Estes elementos são, respectivamente, identidade domínio e identidade imagem de g {\displaystyle g} ;
  • Para cada g ∈ G {\displaystyle g\in G} existe um (único) elemento g − 1 ∈ G {\displaystyle g^{-1}\in G} tal que g − 1 g = d ( g ) {\displaystyle g^{-1}g=d(g)} e g g − 1 = r ( g ) {\displaystyle gg^{-1}=r(g)} .

Observe que podemos identificar um elemento g ∈ G {\displaystyle g\in G} com um morfismo g ∈ M o r C ( A , B ) {\displaystyle g\in Mor_{\mathcal {C}}(A,B)} e, neste caso, d ( g ) {\displaystyle d(g)} e r ( g ) {\displaystyle r(g)} correspondem aos morfismos identidade do domínio e da imagem de g {\displaystyle g} . É comum que, neste caso, identifiquemos um objeto A {\displaystyle A} com o seu morfismo identidade I d A {\displaystyle Id_{A}} .

Exemplos

O conjunto das matrizes quadradas de ordem n {\displaystyle n} com entradas reais M n ( R ) {\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )} é um grupo abeliano com a operação de adição. A união dos grupos ⋃ n = 1 ∞ M n ( R ) {\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }M_{n}(\mathbb {R} )} é um grupoide, e a soma está definida apenas para matrizes de mesma ordem. Podemos estender este exemplo para matrizes retangulares, também.

Referências

  1. ↑ (Riehl, §1.1)
  2. ↑ TAMUSIUNAS, Thaísa Raupp (2012). Teorias de Galois para Ação de Grupoides. Porto Alegre: [s.n.] 
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