embora historicamente seja anterior a esta. Ela é um caso particular da expressão mais geral[1]:
Demonstração
Vamos demonstrar[2] a fórmula para por indução e, depois generalizar, não recorrendo à fórmula de Euler. Queremos provar que
, e com sendo um número complexo.
Para a identidade é verdadeira, pois tem-se , que é a representação na forma polar de um número complexo (com e ).
Suponhamos agora que a propriedade se verifica para e provemos que também o é para . Temos:
Conseguimos provar que a fórmula se verifica, recorrendo às fórmulas e .
Queremos agora generalizar para . Para n=0 a propriedade é imediata se convencionarmos
Consideremos . Então:
Em que aplicámos propriedades dos complexos relacionadas com a potenciação e o quociente. Repare-se que agora estamos perante e não . Agora:
Aplicámos apenas a fórmula que já demonstrámos para os números naturais, uma vez que, como é negativo, é positivo (natural).
Substituindo de volta por :
, Q.E.D.
Destaque para o facto de a fórmula de De Moivre ser um caso particular para
Referências
↑ abBROWN, J. W.; RUEL, C. V. (2003). Complex Variables and Applications (7.ª edição). McGraw-Hill Science Engineering ISBN 9780072872521. Páginas 18 a 21.
↑A demonstração segue em grande parte a demonstração da referência anterior, ainda que seja ligeiramente diferente para evitar recorrer demasiado à fórmula de Euler.