Em matemática, a desigualdade de Chebyshev, também conhecida por desigualdade de Bienaymé-Chebyshev, é um resultado da teoria da medida com grandes aplicações na teoria das probabilidades. O nome é dado em honra ao matemático russo Pafnuty Chebyshev quem primeiro apresentou uma demonstração ao teorema, e ao estatístico francês Irénée-Jules Bienaymé.
Enunciado
Seja
um espaço de medida,
uma função mensurável,
uma função mensurável não-negativa e não decrescente. Então:
![{\displaystyle \mu \left(\left\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\right\}\right)\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da7648568998b7b70663a0b1c64b19e0c657c0ed)
Um caso particular de especial interesse acontece quando substituímos
por
e tomamos
como
:
![{\displaystyle \mu \left(\left\{x\in X\,:\,\,|f(x)-c|\geq t\right\}\right)\leq {1 \over t^{2}}\int _{X}|f-c|^{2}\,d\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ab877adc491512c0b92fa3838cbdce58aee517)
Se
representa uma distribuição de probabilidades com média
e desvio padrão
então:
![{\displaystyle \Pr(\left|X-\mu \right|\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d8af768c7fe3f0c5cacd7ad7e9d7f03dce47bc)
Demonstração
Defina
e seja
a função indicadora de
em
. Então:
![{\displaystyle 0\leq g(t)1_{A_{t}}\leq g\circ f\,1_{A_{t}}\leq g\circ f\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/964cafb0ea66e5e462ac84bad431459be5df9836)
E, portanto:
![{\displaystyle g(t)\mu (A_{t})=\int _{X}g(t)1_{A_{t}}\,d\mu \leq \int _{A_{t}}g\circ f\,d\mu \leq \int _{X}g\circ f\,d\mu \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87e6390eec777860a0b99df4e8632efcd61ce2c9)
E o resultado segue dividindo a desigualdade obtida por
.
Bibliografia
- Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (28 de novembro de 2009). Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces (em inglês). [S.l.]: Princeton University Press