Completamento de quadrados

Na álgebra elementar, completar o quadrado é uma técnica para converter um polinômio quadrático da forma

${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$

para a forma

${\displaystyle a(x-h)^{2}+k}$

para alguns valores de ${\displaystyle h}$ e ${\displaystyle k}$.

O completamento de quadrado é usado em

• resolver equações quadráticas,
• derivar a fórmula quadrática,
• representar funções quadráticas graficamente,
• avaliar integrais no cálculo, como integrais gaussianas com um termo linear no expoente,
• encontrar transformadas de Laplace.

Em matemática, o completamento de quadrado é frequentemente aplicado em qualquer cálculo envolvendo polinômios quadráticos.

Visão geral

Contexto

A fórmula na álgebra elementar para calcular o quadrado de um binômio é:

${\displaystyle (x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.}$

Por exemplo:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}}$

Em qualquer quadrado perfeito, o coeficiente de ${\displaystyle x}$ é duas vezes o número ${\displaystyle p}$, e o termo constante é igual a ${\displaystyle p^{2}}$.

Exemplo básico

Considere o seguinte polinômio quadrático:

${\displaystyle x^{2}+10x+28.}$

Esse quadrático não é um quadrado perfeito, pois 28 não é o quadrado de 5:

${\displaystyle (x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.}$

No entanto, é possível escrever o quadrático original como a soma desse quadrado e uma constante:

${\displaystyle x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.}$

Isso é chamado de completar o quadrado.

Descrição geral

Dada qualquer quadrática mônica

${\displaystyle x^{2}+bx+c,}$

é possível formar um quadrado com os mesmos dois primeiros termos:

${\displaystyle \left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.}$

Esse quadrado difere do quadrático original apenas no valor do termo constante. Portanto, podemos escrever

${\displaystyle x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,}$

onde ${\displaystyle k\,=\,c-{\frac {b^{2}}{4}}}$. Por exemplo:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}$

Caso não-mônico

Dado um polinômio quadrático da forma

${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$

é possível fatorar o coeficiente a e completar o quadrado para o polinômio mônico resultante.

Exemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3(x^{2}+4x+9)\\&{}=3\left((x+2)^{2}+5\right)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}$

Isso nos permite escrever qualquer polinômio quadrático na forma

${\displaystyle a(x-h)^{2}+k.}$

Fórmula

Caso escalar

O resultado do preenchimento do quadrado pode ser escrito como uma fórmula. Para o caso geral:^[1]

${\displaystyle ax^{2}+bx+c\;=\;a(x-h)^{2}+k,\quad {\text{onde}}\quad h=-{\frac {b}{2a}}\quad {\text{e}}\quad k=c-ah^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}.}$

Especificamente, quando ${\displaystyle a=1}$:

${\displaystyle x^{2}+bx+c\;=\;(x-h)^{2}+k,\quad {\text{onde}}\quad h=-{\frac {b}{2}}\quad {\text{e}}\quad k=c-{\frac {b^{2}}{4}}.}$

Case matricial

O caso das matrizes é muito semelhante:

${\displaystyle x^{\mathrm {T} }Ax+x^{\mathrm {T} }b+c=(x-h)^{\mathrm {T} }A(x-h)+k\quad {\text{onde}}\quad h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b\quad {\text{e}}\quad k=c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b}$

onde ${\displaystyle A}$ tem que ser simétrica.

Se ${\displaystyle A}$ não é simétrica as fórmulas para ${\displaystyle h}$ e ${\displaystyle k}$ devem ser generalizadas para:

${\displaystyle h=-(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b\quad {\text{e}}\quad k=c-h^{\mathrm {T} }Ah=c-b^{\mathrm {T} }(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}A(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b}$.

Relação com o gráfico

Na geometria analítica, o gráfico de qualquer função quadrática é uma parábola no plano ${\displaystyle xy}$. Dado um polinômio quadrático da forma

${\displaystyle (x-h)^{2}+k\quad {\text{ou}}\quad a(x-h)^{2}+k}$

os números ${\displaystyle h}$ e ${\displaystyle k}$ podem ser interpretados como as coordenadas cartesianas do vértice (ou ponto estacionário) da parábola. Ou seja, ${\displaystyle h}$ é a coordenada ${\displaystyle x}$ do eixo de simetria (ou seja, o eixo de simetria tem a equação ${\displaystyle x=h}$) e ${\displaystyle k}$ é o valor mínimo (ou valor máximo, se ${\displaystyle a<0}$) da função quadrática.

Uma maneira de ver isso é notar que o gráfico da função ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ é uma parábola cujo vértice está na origem ${\displaystyle (0,0)}$. Portanto, o gráfico da função ${\displaystyle f(x-h)=(x-h)^{2}}$ é uma parábola deslocada para a direita por ${\displaystyle h}$ cujo vértice está em ${\displaystyle (h,0)}$, conforme mostrado na figura de cima. Por outro lado, o gráfico da função ${\displaystyle f(x)+k=x^{2}+k}$ é uma parábola deslocada para cima por ${\displaystyle k}$ cujo vértice está em ${\displaystyle (0,k)}$, como mostra a figura central. A combinação dos desvios horizontal e vertical produz ${\displaystyle f(x-h)+k=(x-h)^{2}+k}$ é uma parábola deslocada para a direita por ${\displaystyle h}$ e para cima por ${\displaystyle k}$ cujo vértice está em ${\displaystyle (h,k)}$, como mostrado em a figura de baixo.

Resolvendo equações quadráticas

Completar o quadrado pode ser usado para resolver qualquer equação quadrática. Por exemplo:

${\displaystyle x^{2}+6x+5=0,}$

O primeiro passo é completar o quadrado:

${\displaystyle (x+3)^{2}-4=0.}$

Em seguida, resolvemos o termo ao quadrado:

${\displaystyle (x+3)^{2}=4.}$

Então

${\displaystyle x+3=-2\quad {\text{ou}}\quad x+3=2,}$

e portanto

${\displaystyle x=-5\quad {\text{ou}}\quad x=-1.}$

Isso pode ser aplicado a qualquer equação quadrática. Quando o ${\displaystyle x^{2}}$ tem um coeficiente diferente de ${\displaystyle 1}$, o primeiro passo é dividir a equação por esse coeficiente: por exemplo, veja o caso não-mônico abaixo.

Raízes irracionais e complexas

Ao contrário dos métodos que envolvem fatoração da equação, que é confiável apenas se as raízes forem racionais, o completamento do quadrado encontrará as raízes de uma equação quadrática, mesmo quando essas raízes forem irracionais ou complexas. Por exemplo, considere a equação

${\displaystyle x^{2}-10x+18=0.}$

Completar o quadrado dá

${\displaystyle (x-5)^{2}-7=0,}$

então

${\displaystyle (x-5)^{2}=7.}$

Logo,

${\displaystyle x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{ou}}\quad x-5={\sqrt {7}},}$

Em linguagem terser:

${\displaystyle x-5=\pm {\sqrt {7}}.}$

então

${\displaystyle x=5\pm {\sqrt {7}}.}$

Equações com raízes complexas podem ser tratadas da mesma maneira. Por exemplo:

${\displaystyle {\begin{array}{c}x^{2}+4x+5\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}+1\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}\,=\,-1\\[6pt]x+2\,=\,\pm i\\[6pt]x\,=\,-2\pm i.\end{array}}}$

Caso não-mônico

Para uma equação que envolve uma quadrática não-mônica, o primeiro passo para resolvê-las é dividir pelo coeficiente de ${\displaystyle x^{2}}$. Por exemplo:

${\displaystyle {\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{ou}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{ou}}\quad x=-2.\end{array}}}$

A aplicação desse procedimento à forma geral de uma equação quadrática leva à fórmula quadrática.

Outras aplicações

Integração

O completamento de quadrado pode ser usado para avaliar qualquer integral da forma

${\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}$

usando as integrais básicas

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{e}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.}$

Por exemplo, considere a integral

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.}$

Completar o quadrado no denominador fornece:

${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.}$

Agora, isso pode ser avaliado usando a substituição ${\displaystyle u=x+3}$, que gera

${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.}$

Números complexos

Considere a expressão

${\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,}$

onde ${\displaystyle z}$ e ${\displaystyle b}$ são números complexos, ${\displaystyle z^{*}}$ e ${\displaystyle b^{*}}$ são os conjugados complexos de ${\displaystyle z}$ e ${\displaystyle b}$, respectivamente, e ${\displaystyle c}$ é um número real. Usando a identidade ${\displaystyle |u|^{2}=uu^{*}}$, podemos reescrever isso como

${\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c,}$

o que é claramente uma quantidade real. Isto é porque

${\displaystyle {\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}}$

Como outro exemplo, a expressão

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,}$

onde ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ são números reais, com ${\displaystyle a>0}$ e ${\displaystyle b>0}$, podem ser expressos em termos do quadrado do valor absoluto de um número complexo. Definir

${\displaystyle z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.}$

Assim,

${\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\&{}=({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y)({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y)\\&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}}$

então

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.}$

Matriz idempotente

Uma matriz ${\displaystyle M}$ é idempotente quando ${\displaystyle M^{2}=M}$. As matrizes idempotentes generalizam as propriedades idempotentes de ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle 1}$. O método de completamento de quadrado de endereçamento da equação

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$

mostra que algumas matrizes ${\displaystyle 2\times 2}$ idempotentes são parametrizadas por um círculo no plano ${\displaystyle (a,b)}$:

A matriz ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}$ será idempotente desde que ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$ que, ao completar o quadrado, se torna

${\displaystyle (a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}.}$

No plano ${\displaystyle (a,b)}$, essa é a equação de um círculo com centro ${\displaystyle {\bigg (}{\frac {1}{2}},0{\bigg )}}$ e raio ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$.

Perspectiva geométrica

Considere completar o quadrado para a equação

${\displaystyle x^{2}+bx=a.}$

Como ${\displaystyle x^{2}}$ representa a área de um quadrado com o lado de comprimento ${\displaystyle x}$, e ${\displaystyle bx}$ representa a área de um retângulo com os lados ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle x}$, o processo de preenchimento do quadrado pode ser visto como manipulação visual de retângulos.

Tentativas simples de combinar os retângulos ${\displaystyle x^{2}}$ e ${\displaystyle bx}$ em um quadrado maior resultam em um canto ausente. O termo Uma variação na técnica adicionado a cada lado da equação de cima é precisamente a área do canto que falta, de onde deriva a terminologia "completar o quadrado".

Uma variação na técnica

Como ensinado convencionalmente, completar o quadrado consiste em adicionar o terceiro termo, ${\displaystyle v^{2}}$,

${\displaystyle u^{2}+2uv}$

para obter um quadrado. Há também casos em que se pode adicionar o termo do meio, ${\displaystyle 2uv}$ ou ${\displaystyle -2uv}$, a

${\displaystyle u^{2}+v^{2}}$

para obter um quadrado.

Exemplo: a soma de um número positivo e seu valor recíproco

Ao escrever

${\displaystyle {\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}}$

mostramos que a soma de um número positivo ${\displaystyle x}$ e seu recíproco é sempre maior ou igual a ${\displaystyle 2}$. O quadrado de uma expressão real é sempre maior ou igual a zero, o que fornece o limite declarado; e aqui atingimos ${\displaystyle 2}$ justamente quando ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle 1}$, fazendo com que o quadrado desapareça.

Exemplo: fatorando um polinômio quártico simples

Considere o problema de fatorar o polinômio

${\displaystyle x^{4}+324.}$

Isto é

${\displaystyle (x^{2})^{2}+(18)^{2},}$

então o termo do meio é ${\displaystyle 2(x^{2})(18)=36x^{2}}$. Assim temos

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}={\text{uma diferença de dois quadrados}}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}}$

(a última linha foi adicionada apenas para seguir a convenção de graus decrescentes de termos).

Referências

• Algebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8, páginas 539–544
• Algebra 2, Saxon, ISBN 0-939798-62-X, páginas 214–214, 241–242, 256–257, 398–401

Ligações externas

• «Completing the square». PlanetMath 

• Portal da matemática