Adjunção (teoria das categorias)

Diagrama comutativo da condição de naturalidade de φ

$${\displaystyle {\begin{array}{r l c r l}&\hom _{D}(F(c),d)&\cong &\hom _{C}(c,G(d))\\{\scriptstyle k\circ -\circ F(h)}&\downarrow &&\downarrow &{\scriptstyle G(k)\circ -\circ h}\\&\hom _{D}(F(c'),d')&\cong &\hom _{C}(c',G(d'))\\\end{array}}}$$

Na teoria das categorias, uma adjunção ${\displaystyle (F,G,\phi ):C\rightharpoonup D}$ é uma tripla consistindo de dois functores ${\displaystyle F:C\rightarrow D}$, ${\displaystyle G:D\rightarrow C}$ e uma família de isomorfismos $${\displaystyle \phi _{c,d}:\hom _{D}(F(c),d)\cong \hom _{C}(c,G(d))}$$ natural em ${\displaystyle (c,d)}$; a condição de naturalidade é expressa por

${\displaystyle G(k)\circ \phi _{c,d}(f)\circ h=\phi _{c',d'}(k\circ f\circ F(h))}$ para cada ${\displaystyle f:F(c)\to d}$, ${\displaystyle k:d\to d'}$ e ${\displaystyle h:c'\to c}$,

ou equivalentemente por

${\displaystyle k\circ \phi _{c,d}^{-1}(g)\circ F(h)=\phi _{c',d'}^{-1}(G(k)\circ g\circ h)}$ para cada ${\displaystyle g:c\to G(d)}$, ${\displaystyle k:d\to d'}$ e ${\displaystyle h:c'\to c}$.

Nesse caso, ${\displaystyle F}$ é dito adjunto esquerdo a ${\displaystyle G}$, e ${\displaystyle G}$ é dito adjunto direito a ${\displaystyle F}$, e escreve-se ${\displaystyle F\dashv G}$.^[1]

Segundo Saunders Mac Lane, "functores adjuntos são onipresentes". Com efeito, vários conceitos da matemática, como grupos livres, corpo de quocientes e completação de espaços métricos são casos particulares do conceito de adjunção.^[2]

Unidade e counidade

Dada adjunção ${\displaystyle (F,G,\phi ):C\rightharpoonup D}$, a unidade e a counidade são, respectivamente, transformações naturais ${\displaystyle \eta :1{\dot {\rightarrow }}GF}$, ${\displaystyle \epsilon :FG{\dot {\rightarrow }}1}$, com componentes: $${\displaystyle \eta _{c}=\phi _{c,F(c)}(1_{F(c)}):c\rightarrow G(F(c))}$$ $${\displaystyle \epsilon _{d}=\phi _{G(d),d}^{-1}(1_{G(d)}):F(G(d))\rightarrow d}$$ para cada ${\displaystyle c\in C,d\in D}$. Têm-se as igualdades

${\displaystyle \phi _{c,d}(f)=G(f)\circ \eta _{c}}$ para cada ${\displaystyle f:F(c)\to d}$,

além de

${\displaystyle \phi _{c,d}^{-1}(g)=\epsilon _{d}\circ F(g)}$ para cada ${\displaystyle g:c\to G(d)}$.

Isto implica as identidades triangulares, isto é, os dois diagramas abaixo comutam:^[3] $${\displaystyle {\begin{array}{c c l c r c c}F&{\xrightarrow {F\eta }}&FGF&\,&GFG&{\xleftarrow {\eta G}}&G\\&{}_{1}\searrow &\downarrow \epsilon F&&G\epsilon \downarrow &\swarrow _{1}\\&&F&&G\end{array}}}$$

Caracterizações alternativas

Por setas universais

Seja functor ${\displaystyle G:D\to C}$. Supõe-se que, para cada ${\displaystyle c\in C}$, há objeto ${\displaystyle f_{c}\in D}$ e seta universal ${\displaystyle \eta _{c}:c\to G(f_{c})}$ de ${\displaystyle c}$ ao functor ${\displaystyle G}$, isto é, representação $${\displaystyle G(-)\circ \eta _{c}:\hom _{D}(f_{c},-)\cong \hom _{C}(c,G(-)).}$$ Então, existe única adjunção ${\displaystyle (F,G,\phi ):C\rightharpoonup D}$ tal que ${\displaystyle F(c)=f_{c}}$ para cada ${\displaystyle c\in C}$ e tal que ${\displaystyle \eta _{c}}$ são as componentes da unidade.

Dualmente, dado functor ${\displaystyle F:C\to D}$ tal que, para cada ${\displaystyle d\in D}$, há objeto ${\displaystyle g_{d}\in C}$, e seta universal ${\displaystyle \epsilon _{d}:F(g_{d})\to d}$ do functor ${\displaystyle F}$ a ${\displaystyle d}$, existe única adjunção ${\displaystyle (F,G,\phi ):C\rightharpoonup D}$ tal que ${\displaystyle G(d)=g_{d}}$ para cada ${\displaystyle d\in D}$ e tal que ${\displaystyle \epsilon _{d}}$ são as componentes da counidade.^[4]

Por unidade e counidade

Sejam functores ${\displaystyle F:C\to D}$, ${\displaystyle G:D\to C}$, e supõe-se que há transformações naturais ${\displaystyle \eta :1{\dot {\to }}GF}$, ${\displaystyle \epsilon :FG{\dot {\to }}1}$ satisfazendo as identidades triangulares acima. Então, existe única adjunção ${\displaystyle (F,G,\phi ):C\rightharpoonup D}$ que tem ${\displaystyle \eta }$ como unidade e ${\displaystyle \epsilon }$ como counidade.^[5]

Exemplos

• O functor ${\displaystyle U:{\mathsf {Grp}}\to {\mathsf {Set}}}$, levando cada grupo ao correspondente conjunto de elementos, tem adjunto esquerdo ${\displaystyle F:{\mathsf {Set}}\to {\mathsf {Grp}}}$, que leva cada conjunto ${\displaystyle X}$ ao grupo livre em ${\displaystyle X}$. A unidade ${\displaystyle \eta :1{\dot {\to }}UF}$ é a "inserção de geradores", e a counidade ${\displaystyle \epsilon :FU{\dot {\to }}1}$ é a "avaliação de expressões".
• Denote por ${\displaystyle {\mathsf {Met}}}$ a categoria de espaços métricos e isometrias, e por ${\displaystyle {\mathsf {CompMet}}}$ a subcategoria plena de espaços métricos completos. Então, a inclusão ${\displaystyle U:{\mathsf {CompMet}}\to {\mathsf {Met}}}$ tem adjunto esquerdo ${\displaystyle C:{\mathsf {Met}}\to {\mathsf {CompMet}}}$, levando cada espaço métrico a sua completação. A unidade ${\displaystyle \eta :1{\dot {\to }}UC}$ é a "inclusão na completação", e a counidade ${\displaystyle \epsilon :CU{\dot {\to }}1}$ evidencia que cada espaço métrico completo é a sua própria completação.^[6]
• Cada pré-ordem pode ser considerada como uma categoria em que ${\displaystyle \hom(a,b)}$ tem no máximo um elemento, e tem um precisamente quando ${\displaystyle a\leq b}$. Um functor entre pré-ordens é então uma função crescente. Uma adjunção entre pré-ordens é chamada conexão de Galois:$${\displaystyle F(c)\leq d\iff c\leq 'G(d).}$$

  A unidade e a counidade correspondem às desigualdades ${\displaystyle c\leq G(F(c))}$, ${\displaystyle F(G(d))\leq d}$, respectivamente. Quando a pré-ordem é uma ordem parcial, as identidades triangulares implicam ${\displaystyle c=F(G(F(c)))}$ e ${\displaystyle d=G(F(G(d)))}$. Eis exemplos de conexões de Galois:

  • Dada função ${\displaystyle f:A\to B}$, há uma adjunção entre a imagem e a pré-imagem:$${\displaystyle f^{\rightarrow }(A')\subseteq B'\iff A'\subseteq f^{\leftarrow }(B')}$$

    para cada ${\displaystyle A'\subseteq A}$, ${\displaystyle B'\subseteq B}$.

  • Seja extensão de corpo ${\displaystyle k\subseteq F}$. Para cada corpo intermediário ${\displaystyle k\subseteq E\subseteq F}$, denota-se por ${\displaystyle \mathrm {Aut} _{E}{F}}$ o conjunto dos automorfismos de ${\displaystyle F}$ fixando cada elemento de ${\displaystyle E}$, e, para cada subgrupo ${\displaystyle G\subseteq \mathrm {Aut} _{k}{F}}$, denota-se por ${\displaystyle F^{G}}$ o corpo dos elementos de ${\displaystyle F}$ que são fixados por cada automorfismo em ${\displaystyle G}$. Então,$${\displaystyle \mathrm {Aut} _{E}{F}\supseteq G\iff E\subseteq F^{G}.}$$

    Este exemplo, proveniente da teoria de Galois, é o que nomeia o conceito.^[7]

Propriedades

Adjunção e limites

Dada adjunção ${\displaystyle (F,G,\phi ):C\rightharpoonup D}$, o adjunto direito ${\displaystyle G}$ preserva os limites de cada ${\displaystyle K:J\to D}$. A demonstração se resume na sequência de isomorfismos naturais: $${\displaystyle \mathrm {Cone} (-,GK)\cong \mathrm {Cone} (F(-),K)\cong \hom _{D}(F(-),\lim K)\cong \hom _{D}(-,G(\lim K)).}$$ Dualmente, o adjunto esquerdo ${\displaystyle F}$ preserva todos os colimites.^[8]

Unicidade do functor adjunto

Dadas adjunções ${\displaystyle (F,G,\phi ,\eta ,\epsilon ):C\rightharpoonup D}$ e ${\displaystyle (F',G,\phi ',\eta ',\epsilon '):C\rightharpoonup D}$, existe único isomorfismo natural ${\displaystyle \theta :F{\dot {\cong }}F'}$ comutando com as unidades e as counidades:

${\displaystyle \eta '=G\theta \cdot \eta }$, ${\displaystyle \epsilon =\epsilon '\cdot \theta G}$.^[9]

Composição de adjunções

A composição de duas adjunções ${\displaystyle (F,G,\eta ,\epsilon ):C\rightharpoonup D}$ e ${\displaystyle (F',G',\eta ',\epsilon '):D\rightharpoonup E}$ é a adjunção:

${\displaystyle (F'F,GG',G\eta 'F\cdot \eta ,\epsilon '\cdot F'\epsilon G'):C\rightharpoonup E}$.^[10]

Transformações de adjunções

Dadas adjunções ${\displaystyle (F,G,\phi ,\eta ,\epsilon ):C\rightharpoonup D}$ e ${\displaystyle (F',G',\phi ',\eta ',\epsilon '):C'\rightharpoonup D'}$, um mapeamento da primeira adjunção à segunda é uma dupla de functores ${\displaystyle K:D\to D',L:C\to C'}$, tal que:^[11]

• É diagrama comutativo: $${\displaystyle {\begin{array}{r c r c r}D&{\xrightarrow {G}}&C&{\xrightarrow {F}}&D\\K\downarrow &&L\downarrow &&K\downarrow \\D'&{\xrightarrow {G'}}&C'&{\xrightarrow {F'}}&D'\end{array}}}$$
• Alguma das (logo cada uma das) três condições a seguir vale:
  • ${\displaystyle L\eta =\eta 'L}$.
  • ${\displaystyle \epsilon 'K=K\epsilon }$.
  • Para cada ${\displaystyle c,d}$, é diagrama comutativo: $${\displaystyle {\begin{array}{c}\hom _{D}(F(c),d)&{\overset {\phi }{\cong }}&\hom _{C}(c,G(d))\\K\downarrow &&\downarrow L\\\hom _{D'}(K(F(c)),K(d))&&\hom _{C'}(L(c),L(G(d)))\\||&&||\\\hom _{D'}(F'(L(c)),K(d))&{\overset {\phi '}{\cong }}&\hom _{C'}(L(c),G'(K(d)))\end{array}}}$$

Dadas adjunções ${\displaystyle (F,G,\phi ,\eta ,\epsilon )}$, ${\displaystyle (F',G',\phi ',\eta ',\epsilon '):C\rightharpoonup D}$ (entre as mesmas categorias), duas transformações naturais ${\displaystyle \sigma :F{\dot {\to }}F'}$ e ${\displaystyle \tau :G'{\dot {\to }}G}$ são ditas conjugadas (para as dadas adjunções), ou formam um morfismo entre as adjunções, quando alguma das (logo cada uma das) condições a seguir vale:

• Para cada ${\displaystyle c,d}$, é diagrama comutativo:$${\displaystyle {\begin{array}{r c l}\hom _{C}(F'(c),d)&{\overset {\phi '}{\cong }}&\hom _{D}(c,G'(d))\\-\circ \sigma _{c}\downarrow &&\downarrow \tau _{d}\circ -\\\hom _{C}(F(c),d)&{\overset {\phi }{\cong }}&\hom _{D}(c,G(d))\end{array}}}$$
• ${\displaystyle \tau }$ é igual à composta ${\displaystyle G'{\xrightarrow {\eta G'}}GFG'{\xrightarrow {G\sigma G'}}GF'G'{\xrightarrow {G\epsilon '}}G}$.
• ${\displaystyle \sigma }$ é igual à composta ${\displaystyle F{\xrightarrow {F\eta '}}FG'F'{\xrightarrow {F\tau F'}}FGF'{\xrightarrow {\epsilon F'}}F'}$.
• ${\displaystyle \epsilon \cdot F\tau =\epsilon '\cdot \sigma G'}$.
• ${\displaystyle G\sigma \cdot \eta =\tau F'\cdot \eta '}$.

Dada transformação natural ${\displaystyle \sigma :F{\dot {\to }}F'}$, há exatamente uma transformação natural ${\displaystyle \tau :G'{\dot {\to }}G}$ que é conjugada a ${\displaystyle \sigma }$. Similarmente, ${\displaystyle \tau }$ determina unicamente ${\displaystyle \sigma }$.^[12]

Adjunções de duas variáveis

Dado functor F : A × B → C, tal que, para cada a ∈ A, o functor F(a, –) : B → C tem adjunto direito G_a : C → B, existe único functor G : A^op × C → B tal que G(a, –) = G_a para cada a ∈ A e tal que os isomorfismos $${\displaystyle \hom _{C}(F(a,b),c)\cong \hom _{B}(b,G(a,c))}$$ são naturais nas três variáveis a, b, c; a tupla consistindo dos functores F, G e do isomorfismo natural é chamada adjunção com parâmetro a.^[13]

Adicionalmente, se, para cada b ∈ B, F(–, b) : A → C também tem adjunto direito, similarmente há isomorfismos naturais $${\displaystyle \hom _{C}(F(a,b),c)\cong \hom _{B}(b,G(a,c))\cong \hom _{A}(a,H(b,c));}$$diz-se, assim, que há uma adjunção de duas variáveis (não "três variáveis").^[14][15]

Adjuntos fiéis e plenos

Numa adjunção (F, G, φ, η, ε) : C ⇀ D:

• G é fiel se e só se cada ε_d é epimorfismo;
• G é pleno se e só se cada ε_d é seção;
• G é pleno e fiel se e só se cada ε_d é isomorfismo.

Com efeito, denotando-se por ρ_{d, d'} a composta $${\displaystyle \hom _{D}(d,d'){\xrightarrow {G}}\hom _{C}(G(d),G(d'))\cong \hom _{D}(F(G(d)),d'),}$$que é o mapeamento f ↦ f ∘ ε_d, G é fiel (respectivamente pleno) se e só se cada ρ_{d, d'} é injetivo (respectivamente sobrejetivo), isto é, cada ε_d é epimorfismo (respectivamente seção).^[16]

Dualmente,

• F é fiel se e só se cada η_c é monomorfismo;
• F é pleno se e só se cada η_c é retração;
• F é pleno e fiel se e só se cada η_c é isomorfismo.^[17]

Em particular, uma equivalência adjunta é precisamente uma adjunção entre functores plenos e fiéis.

Subcategoria reflexiva

Uma subcategoria D de uma categoria C é dita reflexiva quando é subcategoria plena e a inclusão D → C admite adjunto esquerdo L : C → D, chamado refletor. (Alguns autores não exigem que a subcategoria seja plena.^[16]) Já que a inclusão é functor pleno e fiel, a counidade L(d) → d é isomorfismo (o refletor "fixa" cada objeto de D).

Como exemplo, a categoria dos espaços compactos de Hausdorff é subcategoria reflexiva da categoria dos espaços topológicos; o refletor leva cada espaço a sua compactificação de Stone–Čech.^[17]

Dualmente, uma subcategoria plena é correflexiva quando a inclusão tem adjunto direito. Por exemplo, a subcategoria plena dos grupos abelianos de torção (isto é, os grupos abelianos nos quais todo elemento tem ordem finita) é correflexiva na categoria dos grupos abelianos.

Nota de terminologia: Alguns autores trocaram os significados de "reflexiva" e "correflexiva".^[16]

Mônade associada

Cada adjunção (F, G, η, ε) : C ⇀ D associa-se a uma mônade, de endofunctor G ∘ F : C → C, de unidade ${\displaystyle \eta :1{\dot {\to }}GF}$ e de multiplicação ${\displaystyle G\epsilon F:(GF)^{2}{\dot {\to }}GF}$.^[18]

Existência de adjuntos

O teorema do functor adjunto de Freyd diz que, dada ${\displaystyle D}$ categoria pequeno-completa, na qual todos os conjuntos ${\displaystyle \hom }$ são pequenos, e dada ${\displaystyle C}$ categoria qualquer, um functor ${\displaystyle G:D\to C}$ tem adjunto esquerdo se e só se é pequeno-contínuo e satisfaz:

Para cada ${\displaystyle x\in C}$, existe conjunto pequeno ${\displaystyle I}$ e família de setas ${\displaystyle \{f_{i}:x\to G(a_{i})\}_{i\in I}}$ tal que, para cada seta ${\displaystyle h:x\to G(a)}$, há ${\displaystyle i\in I,t:a_{i}\to a}$ tais que ${\displaystyle h=G(t)\circ f_{i}}$.^[19]

O teorema especial do functor adjunto diz que, dada D categoria pequeno-completa e com conjuntos hom pequenos, e dada C categoria com conjuntos hom pequenos, tais que D tem família cosseparadora pequena e toda coleção de monomorfismos de mesmo contradomínio em D tem produto fibrado (isto é, toda coleção de subobjetos tem ínfimo), então cada functor G : D → C pequeno-contínuo e preservando os produtos fibrados de monomorfismos tem adjunto esquerdo.

Uma versão alternativa, de hipóteses mais restritivas, é: Dada D categoria pequeno-completa, com conjuntos hom pequenos, com cosseparador pequeno e tal que, para cada d ∈ D, a coleção de subobjetos de d pode ser indexada por um conjunto pequeno, e dada C categoria com conjuntos hom pequenos, um functor G : D → C tem adjunto esquerdo se e só se é pequeno-contínuo.^[20]

Os teoremas são consequências dos teoremas da existência de objeto inicial.^[21]

A seguir, exemplos de aplicações desses teoremas.

• Denota-se por ${\displaystyle U:{\mathsf {Grp}}\to {\mathsf {Set}}}$ o functor "esquecidiço". Pode-se mostrar que U estritamente cria todos os limites pequenos, logo é pequeno-contínuo e ${\displaystyle {\mathsf {Grp}}}$ é pequeno-completa. É claro que ${\displaystyle {\mathsf {Grp}}}$ tem conjuntos hom pequenos. Seja X conjunto pequeno. Seja {A_i} família de representantes das classes de isomorfismo de grupos que podem ser gerados por no máximo card X elementos. As inclusões dos geradores {f_i : X → U(A_i)} satisfazem a condição requerida. Segue que U tem adjunto esquerdo, e a existência de grupos livres.^[19]
• Denota-se por ${\displaystyle G:{\mathsf {CompHaus}}\to {\mathsf {Top}}}$ o functor de inclusão, da categoria dos espaços compactos de Hausdorff à categoria dos espaços topológicos. Pode-se mostrar que a categoria dos espaços compactos de Hausdorff é pequeno-completa (usa-se o teorema de Tychonoff para mostrar a existência de produtos), e claramente ambas têm conjuntos hom pequenos. O lema de Urysohn implica que { é cosseparador para ${\displaystyle {\mathsf {CompHaus}}}$. As outras hipóteses são facilmente verificadas. Segue que G tem adjunto esquerdo, chamado compactificação de Stone–Čech.^[20]

Referências

Bibliografia

• RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.] 
• MAC LANE, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Col: Graduate Texts in Mathematics 2 ed. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98403-8