Przestrzeń jednostajnie wypukła

Przestrzeń jednostajnie wypukła – przestrzeń unormowana X {\displaystyle X} spełniająca warunek

( ∀ ε > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ x , y ∈ X ) ( ‖ x ‖ ⩽ 1 , ‖ y ‖ ⩽ 1 , ‖ x − y ‖ ⩾ ε ⇒ ‖ 1 2 ( x + y ) ‖ ⩽ 1 − δ ) . {\displaystyle (\forall {\varepsilon >0})(\exists {\delta >0})(\forall {x,y\in X})\left(\|x\|\leqslant 1,\|y\|\leqslant 1,\|x-y\|\geqslant \varepsilon \Rightarrow \|{\tfrac {1}{2}}(x+y)\|\leqslant 1-\delta \right).}

Intuicyjnie, przestrzeń jednostajnie wypukła to przestrzeń unormowana, której geometria przypomina geometrię przestrzeni unitarnej. W szczególności każda przestrzeń unitarna jest przestrzenią jednostajnie wypukłą.

Przykłady

Przestrzenie unitarne

Z tożsamości równoległoboku wynika, ze przestrzenie unitarne są jednostajnie wypukłe. Istotnie, dla ustalonego ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} oraz punktów x , {\displaystyle x,} y {\displaystyle y} o normach ‖ x ‖ , ‖ y ‖ ⩽ 1 {\displaystyle \|x\|,\|y\|\leqslant 1} spełniony jest warunek

‖ 1 2 ( x + y ) ‖ 2 = 1 2 ‖ x ‖ 2 + 1 2 ‖ y ‖ 2 − 1 4 ‖ x − y ‖ 2 ⩽ 1 − 1 4 ε 2 , {\displaystyle \|{\tfrac {1}{2}}(x+y)\|^{2}={\tfrac {1}{2}}\|x\|^{2}+{\tfrac {1}{2}}\|y\|^{2}-{\tfrac {1}{4}}\|x-y\|^{2}\leqslant 1-{\frac {1}{4}}\varepsilon ^{2},}

skąd wynika, że

‖ 1 2 ( x + y ) ‖ ⩽ 1 − 1 4 ε 2 ⩽ 1 − 1 8 ε 2 . {\displaystyle \|{\tfrac {1}{2}}(x+y)\|\leqslant {\sqrt {1-{\tfrac {1}{4}}\varepsilon ^{2}}}\leqslant 1-{\tfrac {1}{8}}\varepsilon ^{2}.}

Przestrzenie L p {\displaystyle L_{p}}

James A. Clarkson udowodnił, że dla dowolnego p ∈ ( 1 , ∞ ) {\displaystyle p\in (1,\infty )} i miary dodatniej μ , {\displaystyle \mu ,} przestrzeń Lp(μ) jest jednostajnie wypukła (w szczególności, przestrzenie ℓp są jednostajnie wypukłe dla p ∈ ( 1 , ∞ ) {\displaystyle p\in (1,\infty )} )[1].

Prostym przykładem przestrzeni, która nie jest jednostajnie wypukła jest płaszczyzna R 2 {\displaystyle R^{2}} z normą

‖ ( x , y ) ‖ = max { | x | , | y | } ( ( x , y ) ∈ R 2 ) . {\displaystyle \|(x,y)\|=\max\{|x|,|y|\}\;\;{\big (}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}{\big )}.}

Jednostajna wypukłość a refleksywność

 Osobny artykuł: Twierdzenie Milmana-Pettisa.

Twierdzenie Milmana-Pettisa orzeka, że każda przestrzeń Banacha jednostajnie wypukła jest refleksywna. Twierdzenie odwrotne nie zachodzi, gdyż istnieją przestrzenie skończenie wymiarowe (a więc refleksywne), które nie są jednostajnie wypukłe. Co więcej, Day[2] wykazał, że istnieją refleksywne przestrzenie Banacha na których nie można wprowadzić normy jednostajnie wypukłej, na przykład

X = ( ⨁ n = 1 ∞ ℓ 1 n ) ℓ 2 . {\displaystyle X={\Big (}\bigoplus _{n=1}^{\infty }\ell _{1}^{n}{\Big )}_{\ell _{2}}.}

Zbieżność

W przestrzeni jednostajnie wypukłej X , {\displaystyle X,} jeśli ciąg ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} punktów tej przestrzeni jest słabo zbieżny do punktu x 0 {\displaystyle x_{0}} oraz

‖ x n ‖ ⟶ ‖ x 0 ‖ , {\displaystyle \|x_{n}\|\longrightarrow \|x_{0}\|,}

to ciąg ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} jest zbieżny normowo (do x 0 {\displaystyle x_{0}} ).

Przypisy

  1. ↑ J.A. Clarkson, Uniformly convex spaces, „Trans. Amer. Math. Soc.” 40 (1936), s. 396–414.
  2. ↑ M.M. Day, Reflexive Banach spaces not isomorphic to uniformly convex spaces, „Bull. Amer. Math. Soc.” 47 (1941), s. 313–317.

Bibliografia

  • O. Hanner, On the uniform convexity of Lp and lp, „Ark. Mat.” 3 (1956), s. 239–244.
  • Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976, s. 192.