Paproć Barnsleya

Paproć Barnsleya (paprotka Barnsleya, fraktal liść paproci) – fraktal znany ze względu na uderzające podobieństwo do liści paproci występujących w naturze, spopularyzowany przez Michaela F. Barnsleya. Jest to przykład złożonego obiektu, który może być opisany za pomocą zaledwie czterech przekształceń afinicznych (zob. Barnsley (1993), s. 86) jako atraktor następującego systemu funkcji zwężających (IFS – system funkcji iterowanych):

f_{1}(x,y)=(0.85x+0.04y,-0.04x+0.85y+1.6)

f_{2}(x,y)=(-0.15x+0.28y,0.26x+0.24y+0.44)

f_{3}(x,y)=(0.20x-0.26y,0.23x+0.22y+1.6)

f_{4}(x,y)=(0,0.16y).

Aby wygenerować fraktal, należy użyć powyższych przekształceń w sposób losowy w następujących proporcjach: 85:7:7:1.

Algorytm

Algorytm generowania tego fraktala polega na procesie iteracji (wielokrotnego przekształcania) współrzędnych rysowanego punktu. Początkowo losowo wybiera się współrzędne punktu, a następnie również losowo wybiera się jedno z przekształceń afinicznych z odpowiednim prawdopodobieństwem. Po obliczeniu nowych współrzędnych punktu, proces powtarza się określoną liczbę razy.

Przykładowy programy (Matlab)

Program napisany w Matlabie generujący paproć widoczną na animacji obok:

for max_step=[1000 10000 50000  100000  500000];
    x=zeros(1,max_step);
    y=zeros(1,max_step);
    for n=1:max_step
        r=rand();
        if r<=0.01
            x(n+1)=0;
            y(n+1)=0.16*y(n);
        elseif r<=0.08
            x(n+1)=0.2*x(n)-0.26*y(n);
            y(n+1)=0.23*x(n)+0.22*y(n)+1.6;
        elseif r<=0.15
            x(n+1)=-0.15*x(n)+0.28*y(n);
            y(n+1)=0.26*x(n)+0.24*y(n)+0.44;
        else
            x(n+1)=0.85*x(n)+0.04*y(n);
            y(n+1)=-0.04*x(n)+ 0.85*y(n)+1.6;
        end
    end
    plot(x,y,'.','Color', 'g', 'MarkerSize',1)
    title(['N = ' num2str(max_step)])
    drawnow
    pause(0.5)
end