Okrąg dopisany

Okrąg dopisany do trójkąta – okrąg styczny do jednego z boków trójkąta i przedłużeń dwóch pozostałych boków. Jego środek znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych odpowiednich kątów zewnętrznych. Okrąg ten ma dokładnie jeden punkt wspólny z trójkątem.

Pole trójkąta

Przyjmując ${\displaystyle r_{a}}$ – promień okręgu dopisanego naprzeciw wierzchołka A oraz ${\displaystyle a,b,c}$ – boki naprzeciw odpowiednich wierzchołków, otrzymujemy wzór na pole trójkąta:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}r_{a}(b+c-a).}$

Dowód

Po przedłużeniu boków ${\displaystyle b}$ i: ${\displaystyle c}$ oraz poprowadzeniu prostej stycznej do okręgu dopisanego przecinającej te przedłużenia odpowiednio w punktach ${\displaystyle B'}$ i: ${\displaystyle C'}$ uzyskujemy trójkąt ${\displaystyle AB'C',}$ dla którego jest to okrąg wpisany. Jest on również wpisany w czworokąt ${\displaystyle BCC'B'.}$ Pole trójkąta ${\displaystyle AB'C'}$ wyraża się wzorem:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}r_{a}(a'+b'+c'),}$

a czworokąta:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}r_{a}(a+(b'-b)+a'+(c'-c)).}$

Pole trójkąta jest różnicą tych pól.