Funkcja okresowa

Na tę stronę wskazuje przekierowanie z „okres (matematyka)”. Zobacz też: inne znaczenia hasła „okres”.

Funkcja okresowa – funkcja, której wartości „powtarzają się” cyklicznie w stałych odstępach (ścisła definicja poniżej). Klasycznym jej przykładem jest funkcja sinus:

Funkcje okresowe mogą służyć do modelowania zjawisk okresowych w fizyce – np. ruchu wahadła czy planety – a także w biologii, medycynie, ekonomii i innych dziedzinach nauki.

Definicja dla funkcji liczbowych

Niech ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} }$ oraz niech ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ będzie funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na zbiorze ${\displaystyle D.}$ Okresem funkcji ${\displaystyle f}$ nazywamy dowolną liczbę ${\displaystyle T}$ różną od zera (niekiedy zakłada się, że ${\displaystyle T>0}$) o następujących własnościach:

1. dla dowolnej liczby ${\displaystyle x\in D,}$ również liczby ${\displaystyle x+T,x-T}$ należą do ${\displaystyle D}$ (niekiedy opuszcza się warunek ${\displaystyle x-T\in D}$)
2. dla każdego ${\displaystyle x\in D}$ zachodzi równość ${\displaystyle f(x+T)=f(x).}$

Jeśli jakaś funkcja ma okres, nazywamy ją funkcją okresową^[1]; funkcję o okresie ${\displaystyle T}$ nazywa się czasem skrótowo funkcją ${\displaystyle T}$-okresową.

Pierwszy z powyższych warunków gwarantuje, że dziedzina funkcji okresowej ma odpowiednią strukturę, tj. biorąc jakąkolwiek liczbę ${\displaystyle x,}$ dla której wyrażenie ${\displaystyle f(x)}$ ma sens, żądamy, aby miało ono sens również dla ${\displaystyle x+T,}$ a w konsekwencji i dla ${\displaystyle x+2T,}$ ${\displaystyle x+3T}$ itd. (oraz ${\displaystyle x-T,}$ ${\displaystyle x-2T}$ itd.). Przykładowo, nie ma sensu np. mówić o okresowości funkcji określonej na przedziale ograniczonym, gdyż, mówiąc nieściśle, nie powstaje on przez cykliczne powtarzanie jakiegoś kawałka w nieskończoność. Warunek, by ${\displaystyle x-T\in D}$ (niekiedy opuszczany), zapewnia, że dziedzina rozciąga się nie tylko od pewnego miejsca do plus nieskończoności, ale także w przeciwnym kierunku.

Drugi warunek stanowi sedno pojęcia okresowości: implikuje on, że nie tylko dziedzina, ale również wykres funkcji ${\displaystyle f}$ powstaje przez położenie obok siebie nieskończenie wielu przesuniętych coraz dalej kopii tego samego zbioru. Zauważmy, że nie ma potrzeby dodawania warunku ${\displaystyle f(x-T)=f(x);}$ kładąc bowiem ${\displaystyle x-T}$ zamiast ${\displaystyle x}$ w warunku 2, otrzymujemy ${\displaystyle f(x)=f((x-T)+T)=f(x-T).}$

Przykłady i podtypy

Przykładami funkcji okresowych są:

• funkcje trygonometryczne:
  • ${\displaystyle 2\pi }$-okresowe sinus, cosinus, secans, cosecans,
  • ${\displaystyle \pi }$-okresowe tangens, cotangens,
• funkcja stała (której okresem jest każda liczba różna od zera),
• funkcja Dirichleta, dana wzorem:

${\displaystyle D(x):={\begin{cases}1,&{\text{gdy }}x{\text{ wymierne,}}\\[2pt]0,&{\text{gdy }}x{\text{ niewymierne}}.\end{cases}}}$

Jej okresem jest dowolna niezerowa liczba wymierna i tylko takie liczby są jej okresami.

• Funkcja wykładnicza e^x rozpatrywana na zbiorze liczb zespolonych. Jej okresem podstawowym jest ${\displaystyle 2\pi i.}$

Jeśli wśród dodatnich okresów funkcji ${\displaystyle f}$ istnieje najmniejszy, to nazywa się go okresem podstawowym lub zasadniczym^{[potrzebny przypis]}. Funkcja okresowa nie musi mieć okresu podstawowego, na przykład dla funkcji stałych oraz funkcji Dirichleta.

Jeśli funkcja okresowa ma dodatkowe właściwości – zwane warunkami Dirichleta – to jest równa swojemu szeregowi Fouriera.

Na płaszczyźnie zespolonej szczególnie istotne są funkcje eliptyczne (dwuokresowe).

Własności

• Jeśli ${\displaystyle T}$ jest okresem, to każda całkowita wielokrotność liczby ${\displaystyle T}$ też jest okresem funkcji.
• Suma i iloczyn funkcji okresowych o wspólnej dziedzinie i okresie ${\displaystyle T}$ są funkcjami okresowymi o okresie ${\displaystyle T.}$ Okres podstawowy nie musi być zachowany, może się zmniejszyć lub przestać istnieć. Na przykład: ${\displaystyle \sin {x}+(-\sin {x}).}$
• Ogólniej: jeśli dwie funkcje okresowe mają okresy współmierne, tj. ${\displaystyle T_{1}/T_{2}\in \mathbb {Q} ,}$ to suma tych funkcji również jest okresowa^[1]. W przeciwnym wypadku ta suma jest funkcją prawie okresową^[1].
• jeśli funkcja okresowa jest ciągła, to jest stała lub ma okres podstawowy (zasadniczy)^[2];
• Jeśli funkcja okresowa ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ o okresie ${\displaystyle T}$ jest różniczkowalna, to jej pochodna ${\displaystyle f'}$ również jest funkcją okresową o okresie ${\displaystyle T}$^{[potrzebny przypis]}.

Definicja dla półgrup

Niech ${\displaystyle (G,*)}$ będzie półgrupą, a ${\displaystyle f\colon G\to Y}$ funkcją określoną na ${\displaystyle G.}$ Jeśli istnieje taki element ${\displaystyle T}$ w ${\displaystyle G}$ (nie będący elementem neutralnym), że ${\displaystyle f(x*T)=f(x)}$ dla dowolnego ${\displaystyle x\in G,}$ to nazywamy go okresem funkcji ${\displaystyle f,}$ a samą funkcję nazywamy okresową.

Ta definicja nie jest uogólnieniem definicji podanej wcześniej, bo tym razem nie założono istnienia odpowiednika liczby ${\displaystyle x-T.}$ Jeśli ${\displaystyle G}$ jest grupą, to warunek ten jest spełniony. Niemniej jednak tak ogólna definicja może być pożyteczna – obejmuje ona np. ciągi okresowe, tj. funkcje okresowe określone na zbiorze liczb naturalnych. Zauważmy również, że:

• samą definicję można by napisać nawet w przypadku zbioru z określonym jakimkolwiek działaniem (tj. niekoniecznie łącznym);
• w przypadku półgrup nieprzemiennych należy odróżniać zdefiniowany powyżej prawy okres od lewego okresu.

Zobacz też

• okres (fizyka)
• sygnał okresowy

Przypisy

Bibliografia

• W.J. Kaczor, M.T. Nowak: Problems in Mathematical Analysis II. Continuity and Differentiation. American Mathematical Society, 2001. (ang.).

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Periodic Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-10-10].
• Periodic function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].