Dywergencja

Ten artykuł dotyczy operatora różniczkowego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Dywergencja, in. rozbieżność^[1], źródłowość pola wektorowego – operator różniczkowy przyporządkowujący polu wektorowemu w przestrzeni euklidesowej 3-wymiarowej pole skalarne będące formalnie iloczynem skalarnym operatora nabla z wektorem pola.

Operator ten uogólnia się na przestrzenie euklidesowe ${\displaystyle n}$-wymiarowe z dowolnymi układami współrzędnych krzywoliniowych oraz na dowolne przestrzenie riemannowskie i pseudoriemannowskie.

Dywergencja w układzie współrzędnych kartezjańskich

Założenia:

Dana jest funkcja ${\displaystyle \mathbf {F} \colon U\to \mathbb {R} ^{3}}$ określona na zbiorze otwartym ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$klasy ${\displaystyle C^{1}}$ (tj. taka że jej pochodne cząstkowe ze względu na każdą ze zmiennych ${\displaystyle x,y,z}$ są funkcjami ciągłymi); funkcja ta ma w wybranym układzie współrzędnych trzy funkcje składowe i nazywana jest polem wektorowym w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \mathbf {F} =(F_{1},F_{2},F_{3}).}$

Definicja:

Dywergencją ${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} }$ pola wektorowego ${\displaystyle \mathbf {F} }$ nazywa się pole skalarne będące sumą pochodnych cząstkowych funkcji składowych ${\displaystyle F_{i}}$ pola wektorowego ${\displaystyle \mathbf {F} }$ po odpowiednich współrzędnych, tj.

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} (x,y,z)={\frac {\partial F_{1}(x,y,z)}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}(x,y,z)}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}(x,y,z)}{\partial z}},}$

co można zapisać symbolicznie

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ,}$

gdzie:

${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)=\mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}}$ – operator wektorowy nabla

symbol ${\displaystyle \cdot }$ oznacza mnożenie skalarne operatora wektorowego nabla z wektorem pola.

Dywergencja we współrzędnych krzywoliniowych

W dowolnych współrzędnych krzywoliniowych ${\displaystyle q_{1},\dots ,q_{n}}$ przestrzeni ${\displaystyle n}$-wymiarowej euklidesowej lub przestrzeni pseudoeuklidesowej (i ogólniej – w przestrzeni riemannowskiej lub pseudoriemannowskiej) dywergencję w danym punkcie wyraża wzór

${\displaystyle \operatorname {div} (F)={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{a}\left({\sqrt {|g|}}\,F^{a}\right),}$

gdzie:

${\displaystyle |g|}$ – moduł wyznacznika tensora metrycznego współrzędnych krzywoliniowich obliczony w danym punkcie,

${\displaystyle \partial _{a}\equiv {\frac {\partial }{\partial q_{a}}}}$ – pochodna cząstkowa po współrzędnej krzywoliniowej ${\displaystyle q_{a},}$

${\displaystyle F=[F_{1},\dots ,F_{n}]}$ – dane pole wektorowe w przestrzeni ${\displaystyle n}$-wymiarowej.

W powyższym wzorze trzeba wykonać sumowanie po powtarzającym się indeksie ${\displaystyle a}$ przyjmując ${\displaystyle a=1,\dots ,n.}$

Współrzędne sferyczne

Z powyższego ogólnego wzoru można otrzymać w szczególności postać dywergencji w układzie współrzędnych sferycznych ${\displaystyle r,\theta ,\varphi .}$ Jeżeli pole wektorowe wyrazi się w lokalnej bazie współrzędnych sferycznych

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {e} _{r}F_{r}+\mathbf {e} _{\theta }F_{\theta }+\mathbf {e} _{\varphi }F_{\varphi },}$

to dywergencja ma postać:

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}F_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta \,F_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}.}$

Współrzędne walcowe

Z ogólnego wzoru można otrzymać postać dywergencji w układzie współrzędnych walcowych ${\displaystyle \rho ,\theta ,z.}$

Jeżeli pole wektorowe wyrazi się w lokalnej bazie współrzędnych walcowych

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {e} _{r}F_{r}+\mathbf {e} _{\theta }F_{\theta }+\mathbf {e} _{z}F_{z},}$

to dywergencja ma postać:

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rF_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.}$

Definicja geometryczna dywergencji

(1) Twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego

Dywergencję można zdefiniować najogólniej nie odwołując się do układu współrzędnych, a korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego, które mówi, że:

Jeżeli ${\displaystyle V}$ jest zwartym podzbiorem przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ którego brzeg ${\displaystyle \partial V}$ jest dodatnio zorientowany oraz kawałkami gładki, a ${\displaystyle \mathbf {F} }$ jest polem wektorowym klasy ${\displaystyle C^{1},}$ określonym na zbiorze otwartym, zawierającym ${\displaystyle V,}$ to

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\operatorname {div} \mathbf {F} \,dV=\iint \limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS,}$

gdzie:

${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {n} (x,y,z)}$ – jednostkowy wektor normalnym do infinitezymalnej powierzchni ${\displaystyle dS}$ w otoczeniu punktu ${\displaystyle (x,y,z).}$

(2) Definicja:

Dywergencją w punkcie ${\displaystyle M}$ zbioru ${\displaystyle U}$ nazywa się granicę całki obliczanej po powierzchni otaczającej punkt ${\displaystyle M,}$ uzyskaną poprzez ściąganie powierzchni ${\displaystyle \partial V}$ do punktu ${\displaystyle M,}$ tj.

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\lim _{|V|\to 0}{\frac {1}{|V|}}\iint \limits _{\partial V}{\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} }\;dS,}$

gdzie ${\displaystyle |V|}$ – objętość obszaru ${\displaystyle V}$ zawartego w powierzchni ${\displaystyle \partial V.}$

Uwaga:

• ${\displaystyle dS}$ oznacza infinitezymalny element powierzchni; formalnie jest to 2-forma postaci ${\displaystyle dx\wedge dy.}$
• ${\displaystyle dV}$ oznacza infinitezymalny element objętości; formalnie jest to 3-forma postaci ${\displaystyle dx\wedge dy\wedge dz.}$

Dywergencja dla pola tensorowego 2 rzędu (z macierzy)

Dywergencja w kartezjańskim układzie współrzędnych dla różniczkowalnego w sposób ciągły tensora drugiego rzędu ${\displaystyle \mathbf {A} }$ zdefiniowanego następująco:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}}$

jest polem wektorowym (tj. w wyniku w danym punkcie otrzymywany jest wektor kolumnowy, czyli kontrawariantny)^[2]

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot \mathbf {A} ^{T}={\cfrac {\partial A_{ik}}{\partial x_{k}}}~\mathbf {e} _{i}=A_{ik,k}~\mathbf {e} _{i}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial A_{11}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{12}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{13}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{21}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{22}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{23}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{31}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{32}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{33}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}.}$

gdzie ${\displaystyle ^{T}}$ oznacza transpozycję. Należy tutaj dodać, że w ogólności zachodzi następująca nierówność^[3]

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A} )\neq \nabla \cdot \mathbf {A} }$

gdzie:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\cfrac {\partial A_{ki}}{\partial x_{k}}}~\mathbf {e} _{i}=A_{ki,k}~\mathbf {e} _{i}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial A_{11}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{21}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{31}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{12}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{22}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{32}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{13}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{23}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{33}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}}$

zatem dla tensorów drugiego rzędu powinniśmy rozróżniać powyższy operator ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$ od dywergencji ${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A} ).}$

Niemniej jednak jeśli tensor jest symetryczny tj. ${\displaystyle A_{ij}=A_{ji}}$ zachodzi równość ${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot \mathbf {A} }$ co jest przyczyną zamiennego stosowania tych operatorów w literaturze dotyczącej równań (związanych głównie z mechaniką) bazujących na założeniu symetrii tensora.

Twierdzenia

Następujące twierdzenia dowodzi się w oparciu o reguły różniczkowania.

Tw. 1

Dywergencja jest operatorem liniowym, tj.

${\displaystyle \operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\operatorname {div} \mathbf {F} +b\operatorname {div} \mathbf {G} }$

dla dowolnych pół wektorowych ${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {G} }$ i dla dowolnych liczb rzeczywistych ${\displaystyle a,b.}$

Tw. 2

Jeżeli φ jest polem skalarnym, to

${\displaystyle \operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} (\varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \operatorname {div} \mathbf {F} }$

lub równoważnie

${\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi (\nabla \cdot \mathbf {F} ),}$

gdzie ${\displaystyle \operatorname {grad} (\varphi )}$ – gradient funkcji skalarnej.

Zastosowania

Operator dywergencji pojawia się w sposób naturalny w kontekście całkowania form zewnętrznych w przestrzeni trójwymiarowej (zob. twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego zwane twierdzeniem o dywergencji), a więc ma szereg konkretnych interpretacji fizycznych, związanych np. z mechaniką płynów.

Interpretacja w mechanice płynów

 Zobacz też: Równania Naviera-Stokesa.

Rozważany jest problem przepływu cieczy nieściśliwej przy występowaniu źródeł (albo wycieków). Wydajnością źródeł wewnątrz zamkniętej powierzchni ${\displaystyle S}$ nazywa się ilość cieczy wypływającej z powierzchni ${\displaystyle S}$ w jednostce czasu. Innymi słowy, wydajność źródeł to strumień wektora prędkości ${\displaystyle \mathbf {v} ,}$ to znaczy

${\displaystyle \iint \limits _{S}\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} \,dS.}$

Dla źródeł w danym obszarze rozłożonych w sposób ciągły, można wprowadzić pojęcie ich gęstości, to znaczy granicę wydajności źródeł w obszarze ${\displaystyle V,}$ które zawierają punkt ${\displaystyle M}$ na jednostkę objętości, tzn.

${\displaystyle \lim _{|V|\to 0}{\frac {1}{|V|}}\iint \limits _{\partial V}{\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} }\;dS,}$

co oznacza, że dywergencja pola prędkości cieczy jest w powyższym przykładzie gęstością źródeł.

Zobacz też

Zobacz hasło dywergencja w Wikisłowniku

(1) Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego

• operator d’Alemberta

(2) Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej

• gradient
• operator Laplace’a
• operator nabla w różnych układach współrzędnych
• rotacja

Przypisy

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 3. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 310.
• Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa: PWN, 1998, s. 237–239. ISBN 83-01-02846-7.
• L.D. Landau, J.M. Lifszyc, Teoria pola, PWN, Warszawa 2009.

Linki zewnętrzne

• Divergence (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].