Topologi

Topologi (fra gresk topos, 'sted' og logos, 'lære') er en gren av moderne geometri. Denne matematiske disiplinen har tidligere gått under navnet analysis situs.

I topologien behandles topologiske rom, det vil si figurer, legemer, rom, flater, kurver og så videre, og de egenskapene som avhenger av hvordan det topologiske rommet «henger sammen». Eksempelvis er dimensjoner en topologisk egenskap, mens størrelse og plassering er ikke slike egenskaper. Topologi kan derfor betegnes som «gummigeometri». Topologi deles gjerne i to deldisipliner: punktmengdetopologi og algebraisk topologi.

Eksempelvis er en kule og en kube det samme topologiske rommet, men begge er ulik en sirkel.

Begrepet topologi blir også brukt i forbindelse med retorikk og dialektikk.

Definisjon

En topologi på en mengde beskriver hvilke delmengder som skal betraktes som åpne. Mer presist er et par ${\displaystyle (X,T)}$ et topologisk rom dersom ${\displaystyle X}$ er en mengde og ${\displaystyle T}$ er en mengde delmengder av ${\displaystyle X}$ slik at

• både den tomme mengden ${\displaystyle \varnothing }$ og ${\displaystyle X}$ er i ${\displaystyle T}$,
• en vilkårlig union av mengder fra ${\displaystyle T}$ er også i ${\displaystyle T}$ og
• et endelig snitt av mengder fra ${\displaystyle T}$ er også i ${\displaystyle T}$.

Delmengdene i ${\displaystyle T}$ kalles åpne, mens et komplement av en mengde i ${\displaystyle T}$ kalles lukket.

Alternativt kan en topologi spesifiseres ved å angi en omegnsstruktur.

Eksempler

• I den trivielle topologien på en mengde ${\displaystyle X}$ er kun ${\displaystyle \varnothing }$ og ${\displaystyle X}$ åpne mengder.

• I den diskrete topologien på en mengde ${\displaystyle X}$ er alle delmengder åpne.

• I standardtopologien på de reelle tall, ${\displaystyle \mathbb {R} }$, er de åpne mengdene alle unioner av åpne intervall. Minnes at en åpne intervall er en mengde ${\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} :a<x<b\}}$, hvor ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$ er i ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Kilder

• Seymour Lipschutz: General Topology. Schaum Publishing co., 1965.
• Arlo W. Schurle: Topics in Topology. Elsevier North Holland, Inc., 1979.
• Per Holm og Jon Reed: Topologi. Universitetsforlaget 1990.