Hyperbel

En hyperbel er i matematikk en type kjeglesnitt, en plan kurve dannet som skjæringslinjen mellom et plan og en kjegleflate.^[1] Andre typer kjeglesnitt er ellipser og parabler.

En hyperbel kan defineres geometrisk som en samling av punkt der avstanden til et gitt punkt og avstanden til en gitt rett linje har et konstant proporsjonalitetsforhold, og der proporsjonalitetskonstanten er større enn 1. Proporsjonalitetskonstanten kalles eksentrisiteten, og hyperbelen er et kjeglesnitt med eksentrisitet større enn 1.

Alternativt kan en hyperbel defineres som en kurve der avstanden til to gitte punkt har en konstant differens.

Hyperbel består av to grener, separate kurver som ligger symmetrisk om et punkt kalt sentrum. Begrepet «hyperbel» brukes både om en enkelt gren og om samhørende par av grener. Kurven har to asymptoter, som skjærer hverandre i hyperbelens sentrum.

Analytisk kan en hyperbel beskrives ved hjelp av en andregradsligning i to variable. For at ligningen skal framstille en hyperbel må diskriminanten definert ved ligningskoeffisientene være positiv. I visse tilfeller kan hyperbelen degenerere til to kryssende linjer. Standardformen for en hyperbel med sentrum i origo og halvakser ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$ er

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

Geometrisk definisjon

En hyperbel kan defineres som det geometriske sted for et punkt der avstanden til et gitt punkt og avstanden til en gitt rett linje har et konstant proporsjonalitetsforhold, og der proporsjonalitetskonstanten er større enn 1. Punktet kalles for brennpunktet eller fokus, og linjen kalles styrelinje eller direktrise. Generelt er et kjeglesnitt det geometriske sted for et punkt der avstanden fra brennpunktet er proporsjonal med avstanden til styrelinjen, og proprosjonaliteteskonstanten kalles eksentrisiteten. En hyperbel er altså et kjeglesnitt med eksentrisitet større enn 1.

Et plan som skjærer en rett kjegleflate med sirkulær basis vil framstille en hyperbel dersom toppvinkelen i kjeglen er større enn vinkelen som planet danner med kjegleaksen. Når kjegleflaten består av to kapper med et felles toppunkt, vil skjæringskurven ha to adskilte hyperbelgrener.

De to hyperbelgrenene dannes av hvert sitt sett av brennpunkt og styrelinjer, som ligger symmetrisk om sentrum. En hyperbel har altså to brennpunkt. Linjen gjennom disse to brennpunktene kalles hyperbelaksen eller hovedaksen.

Polarform

Gitt en styrelinje og et brennpunkt F, og la avstanden mellom disse være ${\displaystyle h}$. For et vilkårlig punkt på hyperbelgrenen P er avstanden til styrelinjen alltid proporsjonal med avstanden til brennpunktet:

${\displaystyle |FP|=e|SP|}$

Proporsjonalitetsfaktoren ${\displaystyle e}$ kalles eksentrisiteten, og for en hyperbel er denne større enn 1. Linjen normalt på styrelinjen gjennom brennpunktet kalles aksen til hyperbelen. I polarkoordinater ${\displaystyle (r,\theta )}$, med polen definert i brennpunktet og akse langs hyperbelaksen, kan dette skrives som

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}r&=e(h+r\cos \theta )\\&={\frac {eh}{1-e\cos \theta }}\qquad |\theta |<\theta ^{\ast }\end{alignedat}}}$

Vinkelen ${\displaystyle \theta ^{\ast }}$ er definert ved ${\displaystyle e\cos \theta ^{\ast }=1}$. Dette er lik vinkelen en asymptote danner med hyperbelaksen. Hyperbelgrenen skjærer ${\displaystyle x}$-aksen i ett toppunkt, for ${\displaystyle \theta =180^{\circ }}$. Avstanden fra dette toppunktene til brennpunktet F er

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}g=r(\theta =180^{\circ })={\frac {eh}{1+e}}\\\end{alignedat}}}$

Korden mellom to punkt på hyperbelen, parallelt med styrelinjen og gjennom brennpunktet, kalles latus rectum. Lengden ${\displaystyle l}$ av denne er

${\displaystyle l=2r(\theta =90^{\circ })=2eh}$

Halve korden kalles semi-latus rectum, med lengde ${\displaystyle p=l/2=eh}$.

Dobbelt sett av brennpunkt og styrelinje

Polarformen av hyperbelen kan brukes til å vise at kurven har et alternativt sett av brennpunkt og styrelinje. La et valgt brennpunkt være ${\displaystyle F_{1}}$ i en avstand ${\displaystyle h}$ fra styrelinjen ${\displaystyle L_{1}}$, og la ${\displaystyle e}$ være en valgt eksentrisitet. Definer et punkt ${\displaystyle F_{2}}$ på hyperbelaksen, i avstanden ${\displaystyle s}$ fra brennpunktet ${\displaystyle F_{1}}$, der

${\displaystyle s={\frac {2e^{2}h}{e^{2}-1}}\qquad (A)}$

Punktet ${\displaystyle F_{2}}$ skal velges slik at styrelinjen ligger mellom punktene ${\displaystyle F_{1}}$ og ${\displaystyle F_{2}}$. En linje ${\displaystyle L_{2}}$ legges parallelt med ${\displaystyle L_{1}}$, mellom de to punktene ${\displaystyle F_{1}}$ og ${\displaystyle F_{2}}$, i en avstand ${\displaystyle h}$ fra ${\displaystyle F_{2}}$.

La ${\displaystyle P}$ være et vilkårlig punkt på hyperbelen, og la ${\displaystyle r_{1}}$ og ${\displaystyle r_{2}}$ være avstandene fra punktet ${\displaystyle P}$ til de to punktene ${\displaystyle F_{1}}$ og ${\displaystyle F_{2}}$. Linjestykkene ${\displaystyle F_{1}P}$ og ${\displaystyle F_{2}P}$ danner vinklene ${\displaystyle \theta _{1}}$ og ${\displaystyle \theta _{2}}$ med hyperbelaksen. Fra den geometriske definisjonen er

${\displaystyle r_{1}=e(h+r_{1}\cos \theta _{1})}$

Fra cosinussetningen er

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}r_{1}^{2}&=r_{2}^{2}+s^{2}-2r_{2}s\cos \theta _{2}\\r_{2}^{2}&=r_{1}^{2}+s^{2}-2r_{1}s\cos(\pi -\theta _{1})=r_{1}^{2}+s^{2}+2r_{1}s\cos \theta _{1}\end{alignedat}}}$

Ved å kombinere disse to ligningene finner en

${\displaystyle r_{1}\cos \theta _{1}=-r_{2}\cos \theta _{2}+{\frac {r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}{s}}\qquad (B)}$

Avstanden fra punktet ${\displaystyle P}$ til hyperbelaksen gir ligningen

${\displaystyle r_{1}\sin \theta _{1}=r_{2}\sin \theta _{2}\qquad (C)}$

Fra kvadratet av den geometriske definisjonen finner en

${\displaystyle r_{1}^{2}=e^{2}(h^{2}+2hr_{1}\cos \theta _{1}+r_{1}^{2}\cos ^{2}\theta _{1})\qquad (D)}$

Kombinasjon av ligningene A-D gir relasjonen

${\displaystyle r_{2}^{2}=e^{2}(r_{2}\cos \theta _{2}-h)^{2}}$

Avstanden mellom de to punktene ${\displaystyle F_{2}}$ og ${\displaystyle P}$ er ${\displaystyle r_{2}}$, og størrelsen i parantesen på høyre side i ligningen over er avstanden fra linjen ${\displaystyle F_{2}}$ til punktet ${\displaystyle P}$. Ligningen viser altå at disse to avstandene er proporsjonale, med samme proporsjonalitetskonstant ${\displaystyle e}$ som det valgte brennpunktet ${\displaystyle F_{1}}$ og styrelinjen ${\displaystyle L_{1}}$. Paret ${\displaystyle F_{2}}$ og ${\displaystyle L_{2}}$ er altså et alternativt sett av brennpunkt og styrelinje for hyperbelgrenen. Tilsvarende vil begge to settene også være brennpunkt og styrelinjer for en hyperbelgren som ligger symmetrisk om sentrum i hyperbelen, det vil si symmetrisk om midtpunktet mellom de to brennpunktene.

Avstanden fra sentrum og et brennpunkt er gitt ved lengden ${\displaystyle s/2}$.

Effekt av eksentrisiteten

Når eksentrisiteten øker mot uendelig vil toppunktet i hyperbelgrenen nærme seg styrelinjen. For en fast avstand mellom brennpunktet og styrelinjen vil latus rectum gå mot uendelig, det vil si at hyperbelen vier seg mer og mer ut.

Når eksentrisiteten går mot 1, så vil toppunktet nærme seg brennpunktet. Latus rectum avtar mot grenseverdien ${\displaystyle h}$, slik at hyperbelen klapper mer og mer sammen.

Sammenheng mellom geometriske definisjoner

Polarformen kan brukes til å vise at de to geometriske definisjonene for hyperbelen er ekvivalente. Gitt et vilkårlig punkt P på hyperbelen, og la avstanden fra dette punktet til de to styrelinjene være henholdsvis ${\displaystyle l_{1}}$ og ${\displaystyle l_{2}}$. Tilsvarende la ${\displaystyle r_{1}}$ og ${\displaystyle r_{2}}$ være avstanden fra punktet til de to brennpunktene. Fra definisjonen med brennpunkt og styrelinje følger det at

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}r_{1}=el_{1}\\r_{2}=el_{2}\end{alignedat}}}$

Siden ${\displaystyle |l_{1}-l_{2}|}$ er lengden mellom styrelinjene følger det direkte at differensen av avstandene fra brennpunktet er konstant:

${\displaystyle |r_{1}-r_{2}|=e|l_{1}-l_{2}|}$

Standardformer i kartesiske koordinater

Det eksisterer flere standardformer for hyperbelen, også kalt kanoniske former. En kanonisk form er ligning i kartesiske koordinatene ${\displaystyle (x,y)}$ som framstiller hyperbelen på en enklest mulig måte. Et alternativ for en kanonisk form framkommer når ${\displaystyle x}$-aksen defineres langs hovedaksen, ${\displaystyle y}$-aksen defineres parallelt med styrelinjen og origo velges i sentrum av hyperbelen:^[2]

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

Ligningen har to parametre, lengdene ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$ av de to halvaksene. For hyperbelen er det ikke et krav at ${\displaystyle a\geq b}$. Kurven har reelle verdier bare når ${\displaystyle |x|\geq a}$.

En korde gjennom sentrum, mellom to punkt på hver sin hyperbelgren, kalles en diameter i hyperbelen. Diameteren mellom de to toppunktene kalles den reelle aksen og har lengden ${\displaystyle 2a}$.^[3] Den imaginære aksen står normalt på denne og har lengden ${\displaystyle 2b}$. Dette er også lengden av en korde mellom asymptotene, normalt på hovedaksen og gjennom toppunktet på en hyperbelgren. Asymptotene har ligningene

${\displaystyle ax\pm by=0}$

Brennpunktene ligger i en avstand ${\displaystyle ae}$ og styrelinjene i avstanden ${\displaystyle a/e}$ fra origo. Eksentrisiteten er gitt fra ligningskoeffisientene ved

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}}}$.

En alternativ kanonisk form framkommer ved å legge origo i det ene brennpunktet:^[2]

${\displaystyle {(x-{\frac {a}{e}})^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1}$

En hyperbel der ${\displaystyle a=b}$ kalles likesidet, ekvilateral eller rektangulær, og for en slik hyperbel brukes også en tredje kanonisk form:^[2]

${\displaystyle xy=k^{2}}$

Parametrisk form

En hyperbel på standardformen med origo i sentrum kan skrives som en parameterframstilling på formen

${\displaystyle x(t)=\pm a\cosh t\qquad y(t)=b\sinh t\qquad t\in (-\infty ,\infty )}$

Konjugerte hyperbler

To hyperbler er konjugerte dersom hovedaksene til hver av hyperblene står normalt på hverandre, samt at den reelle aksen i den ene er lik den imaginære aksen i den andre og omvendt.^[3] To konjugerte hyperbler har identiske asymptoter. På standardformen med origo i sentrum kan ligningene for de to konjugerte hyperblene skrives

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}&=1\\{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}&=-1\end{alignedat}}}$

Dersom de to hyperblene har eksentrisitet henholdsvis ${\displaystyle e_{1}}$ og ${\displaystyle e_{2}}$, så vil ${\displaystyle ae_{1}=be_{2}}$. De fire brennpunktene til de to hyperblene ligger på en sirkel med radius ${\displaystyle ae_{1}}$.

Generell kvadratisk form

En generell kvadratisk form

${\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$

vil framstillen en hyperbel dersom diskriminanten ${\displaystyle d}$ er positiv:^[4]

${\displaystyle d=B^{2}-4AC>0}$

Ligningen kan overføres til standardformen ved hjelp av en koordinattransformasjon: en translasjon og en rotasjon.

Degenerert hyperbel

En hyperbel med diskriminant lik null vil degenerere til to kryssende rette linjer dersom determinanten til matriseformen av ligningen er lik null.^[2] Matriseformen er

${\displaystyle {\mathsf {x}}{\mathsf {R}}{\mathsf {x}}^{\operatorname {T} }=0}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\mathsf {x}}&=(x,y,1)\\[3pt]{\mathsf {R}}&=\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right)\\[3pt]\end{alignedat}}}$

Determinanten ${\displaystyle \Delta _{3}}$ til matrisen ${\displaystyle {\mathsf {R}}}$ er gitt ved

${\displaystyle \Delta _{3}=\det {\mathsf {R}}={\begin{vmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{vmatrix}}}$

Egenskaper

Symmetri

Hyperbelen er symmetrisk om både den reelle og den imaginære aksen, og dermed også om sentrum.

Tangentlinjer

For en hyperbel på standardformen med origo i sentrum er ligningen for tangenten i punktet ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ gitt ved

${\displaystyle {\frac {xx_{0}}{a^{2}}}-{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}=0}$

Konjungerte diametre

En diameter i hyperbelen er en korde som går gjennom sentrum, mellom to punkt på hyperbelen To diametre i hyperbelen er konjugerte dersom enhver korde parallell med den ene diameteren blir delt i to like deler av den andre.^[5]

Anvendelser

For en ideell gass med konstant temperatur vil variasjon i trykk og volum beskrive en hyperbel.

Referanser

Litteratur

• J.Dennis Lawrence (1972). A Catalog of Special Plane Curves. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-60288-2. 

• George B. Thomas, Ross L. Finney (1995). Calculus and Analytic Geometry (9th edition utg.). Reading, USA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-53174-7. CS1-vedlikehold: Ekstra tekst (link)

• C.M. Guldberg (1941). Analytisk geometri. Oslo: Steensballe. s. 60-69. 

• Adams, Robert A. & Essex, Christopher (2013). Calculus 2. Harlow: Pearson. s. 463-468. ISBN 978-1-78365-399-7. CS1-vedlikehold: Flere navn: forfatterliste (link)