Rij van Lucas

De rij van Lucas is een variant op de rij van Fibonacci, met dezelfde recursie, maar met andere startwaarden. Voor de rij van Fibonacci zijn de startwaarden 0 en 1. Voor de rij van Lucas (L_n) geldt:

${\displaystyle L_{1}=1}$

${\displaystyle L_{2}=3}$

en voor n > 2:

${\displaystyle L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2}}$

Dit levert de rij:^[1]

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, ...

De rij is genoemd naar François Édouard Anatole Lucas (1842-1891).

De rij wordt ook vaak gedefinieerd met de startwaarden L₀ = 2 en L₁ = 1.

Eigenschappen

• De som van twee Fibonacci-getallen F_n−1 en F_n+1 waarvan de indices 2 verschillen, die elkaar dus niet opvolgen, maar er een getal overgeslagen wordt, is een Lucas-getal.

${\displaystyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}}$.

• Het quotiënt van twee Fibonacci-getallen F_2n en F_n waarvan de indices een factor 2 verschillen, is een Lucas-getal.

${\displaystyle L_{n}={\frac {F_{2n}}{F_{n}}}}$.

• Net als in de rij van Fibonacci, nadert ook ${\displaystyle L_{n}/L_{n-1}}$ naar de gulden snede als n naar oneindig gaat.
• Met φ de gulden snede, geldt:

${\displaystyle L_{n}=\phi ^{n}+(1-\phi )^{n}}$.

• Als n een priemgetal is, dan geldt dat ${\displaystyle L_{n}\equiv 1{\pmod {n}}}$. Er zijn ook samengestelde termen in de rij met die eigenschap.
• De voortbrengende functie van de Rij van Lucas is :${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n}={\frac {2-x}{1-x-x^{2}}}.}$