Eigentijd

Eigentijd is een begrip uit de relativiteitstheorie, waar absolute tijd niet bestaat: eigentijd is de tijd die op een bepaalde wereldlijn (reis) verloopt (de veroudering van een persoon, de reistijd volgens een meegenomen klok, de mate van radioactief verval, enz.).

Vlakke ruimte

Bij wereldlijnen door de minkowski-ruimte geldt het volgende.

Als A en B elk een constante snelheid hebben en de snelheid van B ten opzichte van A bedraagt ${\displaystyle v\,}$, dan is de tussen twee gebeurtenissen in het ruimteschip van B verstreken eigentijd van B gegeven door

${\displaystyle \Delta \tau =\Delta t{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$.

waarbij ${\displaystyle c\,}$ de lichtsnelheid is, en ${\displaystyle \Delta t\,}$ de tijd die volgens de klokken van A verstreken is (voor A synchrone klokken waar B langskomt).

Bij een variabele snelheid wordt dit:

${\displaystyle \tau =\int d\tau =\int {\sqrt {1-{\frac {v(t)^{2}}{c^{2}}}}}dt={\frac {1}{c}}\int {\sqrt {dx^{\mu }dx^{\nu }\eta _{\mu \nu }}}\,}$.

met in de laatste stap de minkowskitensor ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\,}$ en de einsteinnotatie.

In een willekeurig coördinatenstelsel wordt dit:

${\displaystyle \tau =\int d\tau ={\frac {1}{c}}\int {\sqrt {dx^{\mu }dx^{\nu }g_{\mu \nu }}}}$

met een metrische tensor ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$ die net als ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\,}$ niet van de ruimtetijdpositie afhangt, en gegeven wordt door een reguliere symmetrische matrix.

Wereldlijnen met een gemeenschappelijk beginpunt en een gemeenschappelijk eindpunt

Voor twee wereldlijnen met een ruimtetijdpositie als gemeenschappelijk beginpunt en een ruimtetijdpositie als gemeenschappelijk eindpunt is zijn de beide eigentijden concreet te vergelijken. In een symmetrische situatie is er uiteraard geen verschil, maar als de snelheid op reis A constant is en op reis B niet, dan is de eigentijd van B korter.

Gekromde ruimte

In de algemene relativiteitstheorie beschrijft men ook "kromming van de ruimte", gegeven door een krommingstensor. De metrische tensor ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$ hangt nu af van de ruimtetijdpositie ${\displaystyle x^{\mu }\,}$. Daardoor is er geen globale coördinatentransformatie mogelijk die g diagonaliseert.

Men krijgt als boven:

${\displaystyle \tau =\int d\tau ={\frac {1}{c}}\int {\sqrt {dx^{\mu }dx^{\nu }g_{\mu \nu }}}}$

Hiermee samenhangend geldt op elk punt van de wereldlijn voor de viersnelheid V:

${\displaystyle V^{\mu }V^{\nu }g_{\mu \nu }=c^{2}}$

Zie ook

• Tijddilatatie
• Tweelingparadox
• Minkowski-ruimte
• Speciale relativiteitstheorie
• Afstand (wiskunde)
• Viervector
• Tekenconventie