Eenheidswortel

In de wiskunde zijn voor een gegeven positief geheel getal ${\displaystyle n}$ de complexe ${\displaystyle n}$-de eenheidswortels alle complexe getallen die 1 opleveren, als zij tot de macht ${\displaystyle n}$ worden verheven. De eenheidswortels worden ook de Moivre-getallen genoemd, naar Abraham de Moivre. In een commutatieve ring met eenheid een wordt op dezelfde wijze een eenheidswortel gedefinieerd.

De complexe ${\displaystyle n}$-de eenheidswortels liggen op de eenheidscirkel van het complexe vlak en zij vormen in dat vlak ${\displaystyle n}$-zijdige regelmatige veelhoeken met een hoekpunt op 1 en het middelpunt op 0. De ${\displaystyle n}$-de eenheidswortels zijn een nulpunt van ${\displaystyle z^{n}-1}$.

Definitie

In een commutatieve ring ${\displaystyle R}$ met eenheid heet een element ${\displaystyle \zeta \in R}$ een ${\displaystyle n}$-de eenheidswortel, als ${\displaystyle \zeta ^{n}=1}$, of anders gezegd, als ${\displaystyle \zeta }$ een nulpunt is van ${\displaystyle x^{n}-1}$.

Een ${\displaystyle n}$-de eenheidswortel ${\displaystyle \zeta }$ wordt primitief genoemd, als ${\displaystyle \zeta ^{k}\neq 1}$ voor ${\displaystyle k=1,\ldots ,n-1}$. De primitieve ${\displaystyle n}$-de eenheidswortels zijn die ${\displaystyle \zeta ^{k}}$, waarvoor ${\displaystyle k}$ en ${\displaystyle n}$ relatief priem zijn.

De ${\displaystyle n}$-de eenheidswortels in ${\displaystyle R}$ vormen een ondergroep van de vermenigvuldigingsgroep ${\displaystyle R^{\times }}$, die vaak met ${\displaystyle \mu _{n}(R)}$ wordt aangegeven. Deze groep is een abelse groep en wordt een cirkelgroep genoemd.

De complexe ${\displaystyle n}$-de eenheidswortels zijn de ${\displaystyle n}$ complexe getallen

${\displaystyle \exp \left(2\pi i{\frac {k}{n}}\right)=\cos \left(2\pi {\frac {k}{n}}\right)+i\sin \left(2\pi {\frac {k}{n}}\right),\qquad k=0,1,\ldots ,n-1}$

Voorbeeld

De drie 3e eenheidswortels zijn geschreven met de stelling van De Moivre:

${\displaystyle 1,\ e^{\frac {2i\pi }{3}}={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\ }$ en ${\displaystyle \ e^{\frac {-2i\pi }{3}}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}}$

Literatuur

• Lang, Serge (2002). Algebra, revised 3rd edition. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-95385-X.
• Milne, James S., Algebraic Number Theory. Course Notes (1998).
• Milne, James S., Class Field Theory. Course Notes (1997).
• Neukirch, Jürgen (1986). Class Field Theory. Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-15251-2.
• Washington, Lawrence C. (1997). Cyclotomic fields, 2nd edition. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-94762-0.