Cullengetal

In de wiskunde is een Cullengetal een natuurlijk getal van de vorm ${\displaystyle C_{n}=n\cdot 2^{n}+1,}$ met ${\displaystyle n}$ een natuurlijk getal ongelijk aan 0. Cullengetallen werden als eerste bestudeerd door James Cullen in 1905. Cullengetallen vormen een speciaal geval van Prothgetallen.

Geschiedenis

De Ierse jezuietenpater en wiskundige James Cullen hield zich in 1905 bezig met de nu naar hem genoemde getallen. Het was hem opgevallen dat behalve ${\displaystyle C_{1}=3}$ alle getallen van deze vorm tot aan ${\displaystyle C_{99}}$ samengesteld zijn en dus geen priemgetallen zijn. Hij was niet zeker wat het getal ${\displaystyle C_{53}}$ betreft, maar Allan J.C. Cunningham nam in 1906 deze onzekerheid weg, door aan te tonen dat 5591 een deler is. Cunningham bewees dat alle getallen ${\displaystyle C_{n}}$ met ${\displaystyle n\leq 200}$ samengesteld zijn, met als mogelijke uitzondering ${\displaystyle n=141.}$

In 1958 bevestigde Raphael M. Robinson dat 18496 een priemgetal is, en toonde aan, dat met uitzondering van ${\displaystyle C_{1}}$ en ${\displaystyle C_{141}}$ alle Cullengetallen voor ${\displaystyle n\leq 1000}$ samengesteld zijn.

In 1984 bewees Wilfrid Keller dat ${\displaystyle C_{4713},\ C_{5795},\ C_{6611}}$ en ${\displaystyle C_{18496}}$ eveneens priem zijn, maar dat alle andere Cullengetallen voor ${\displaystyle n\leq 30000}$ samengesteld zijn.

Eigenschappen

In 1976 toonde Christopher Hooley aan dat de natuurlijke dichtheid van natuurlijke getallen ${\displaystyle n}$ waarvoor ${\displaystyle C_{n}}$ priem is, van de orde ${\displaystyle o(x)}$ is voor ${\displaystyle x\to \infty .}$ In dit opzicht zijn bijna alle Cullengetallen samengesteld; de enig bekende Cullenpriemgetallen zijn die met ${\displaystyle n=1,141,4713,5795,6611,18496,32292,32469,59656,90825,262419,361275}$ en ${\displaystyle 481899}$^[1]. Vermoed wordt wel dat er oneindig veel Cullenpriemgetallen zijn.

Sinds augustus 2009 is het grootste bekende Cullenpriemgetal het getal 6679881 × 26679881 + 1 bestaande uit 2,010,852 cijfers.

Een Cullengetal ${\displaystyle C_{n}}$ is deelbaar door ${\displaystyle p=2n-1}$ als ${\displaystyle p}$ een priemgetal is van de vorm ${\displaystyle 8k-3.}$ Verder volgt uit de kleine stelling van Fermat dat als ${\displaystyle p}$ een priemgetal anders dan 2 is, ${\displaystyle p}$ deler is van ${\displaystyle C_{m(k)}}$ voor iedere ${\displaystyle m(k)=(2^{k}-k)(p-1)-k}$ met ${\displaystyle k>0.}$ Ook is aangetoond dat het priemgetal ${\displaystyle p}$ deler is van ${\displaystyle C_{(p+1)/2}}$ als 2 geen kwadratisch residu is modulo ${\displaystyle p,}$, en dat als 2 wel een kwadratisch residu is modulo ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle p}$ deler is van ${\displaystyle C_{(3p-1)/2}.}$

Het is tot nu toe onbekend of er een priemgetal ${\displaystyle p}$ is zodat ${\displaystyle C_{p}}$ ook een priemgetal is.

Generalisaties

Soms wordt een gegeneraliseerd Cullengetal gedefinieerd als een getal van de vorm ${\displaystyle n\cdot b^{n}+1,}$ waarin ${\displaystyle n+2\geq b.}$ Als een priemgetal in deze vorm geschreven kan worden, wordt het een gegeneraliseerd Cullenpriemgetal genoemd. Woodallgetallen worden soms Cullengetallen van de tweede soort genoemd.

Externe links

• The Prime Glossary: Cullen number
• MathWorld: Cullen number