Autoregressief model

Het autoregressieve (AR) model is een model uit de tijdreeksanalyse dat wordt gebruikt om bepaalde voorspellingen te doen.

Definitie

Het autoregressieve model van de orde p , {\displaystyle p,} genoteerd als A R ( p ) , {\displaystyle \mathrm {AR} (p),} is gedefinieerd als

X t = c + ∑ i = 1 p φ i X t − i + ε t {\displaystyle X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\varepsilon _{t}} ,

waarin φ 1 , … , φ p {\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{p}} de parameters van het model zijn, c {\displaystyle c} een constante is en ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} witte ruis is. De constante term wordt vaak weggelaten.

Aannames

  1. E ( ε t ) = 0 {\displaystyle \mathrm {E} (\varepsilon _{t})=0}
  2. E ( ε t 2 ) = σ 2 {\displaystyle \mathrm {E} (\varepsilon _{t}^{2})=\sigma ^{2}}
  3. E ( ε t ε s ) = 0 {\displaystyle \mathrm {E} (\varepsilon _{t}\varepsilon _{s})=0} voor alle t ≠ s {\displaystyle t\neq s}

Voorbeeld

Een A R ( 1 ) {\displaystyle \mathrm {AR} (1)} -proces is gegeven door:

X t = c + φ X t − 1 + ε t {\displaystyle X_{t}=c+\varphi X_{t-1}+\varepsilon _{t}\,}

waarin ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} aan de aannames voldoet. Daardoor is de verwachtingswaarde E ( X t ) {\displaystyle \mathrm {E} (X_{t})} dezelfde voor alle waarden van t , {\displaystyle t,} indien | φ | < 1. {\displaystyle |\varphi |<1.} . De verwachtingswaarde μ {\displaystyle \mu } is gelijk aan

E ( X t ) = E ( c ) + φ E ( X t − 1 ) + E ( ε t ) ⇒ μ = c + φ μ + 0 {\displaystyle \mathrm {E} (X_{t})=\mathrm {E} (c)+\varphi \mathrm {E} (X_{t-1})+\mathrm {E} (\varepsilon _{t})\Rightarrow \mu =c+\varphi \mu +0}

Dus

μ = c 1 − φ {\displaystyle \mu ={\frac {c}{1-\varphi }}}

In het bijzonder is, als c = 0 {\displaystyle c=0} , de verwachtingswaarde gelijk aan 0.

De variantie is

v a r ( X t ) = E ( X t 2 ) − μ 2 = σ ε 2 1 − φ 2 {\displaystyle \mathrm {var} (X_{t})=\mathrm {E} (X_{t}^{2})-\mu ^{2}={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{1-\varphi ^{2}}}} ,

waarin σ ε {\displaystyle \sigma _{\varepsilon }} de standaardafwijking van ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} is.

Dit kan men zien doordat v a r ( X t ) = φ 2 v a r ( X t − 1 ) + σ 2 . {\displaystyle \mathrm {var} (X_{t})=\varphi ^{2}\mathrm {var} (X_{t-1})+\sigma ^{2}.}