Persamaan pembezaan tepat

Persamaan pembezaan tepat ialah sejenis persamaan pembezaan biasa yang digunakan secara meluas dalam bidang fizik dan kimia.

Definisi

Diberi suatu fungsi ${\displaystyle \Psi }$ yang terdiri dari pembolehubah ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$, yang memegang nilai suatu pemalar ${\displaystyle k}$. ^[1]

${\displaystyle \Psi (x,y)=k}$

Apabila persamaan itu dibezakan kedua belah kiri dan kanan, akan memperoleh

${\displaystyle d\Psi =0}$

Memandangkan fungsi ${\displaystyle \Psi }$ mengandungi kedua-dua ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$, maka pembezaan separa boleh dilakukan terhadap pembolehubah masing-masing.

${\displaystyle {\partial \Psi \over \partial x}dx\,+{\partial \Psi \over \partial y}dy=0}$

Oleh itu, persamaan pembezaan tepat dapat ditulis semula secara am

${\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0}$

iaitu

${\displaystyle M(x,y)={\partial \Psi \over \partial x}}$

dan

${\displaystyle N(x,y)={\partial \Psi \over \partial y}}$

Sekiranya fungsi-fungsi ${\displaystyle M(x,y)}$ dan ${\displaystyle N(x,y)}$ dibezakan separa terhadap pemboleh ubah yang berlainan, maka secara prinsip, ia akan memperoleh nilai yang sama. Nilai ini yang menjadi satu-satunya sifat untuk menentukan kewujudan persamaan pembezaan tepat.

${\displaystyle {\partial ^{2}\Psi \over \partial xy}={\partial ^{2}\Psi \over \partial xy}}$

${\displaystyle {\partial \over \partial y}\left({\partial \Psi \over \partial x}\right)={\partial \over \partial x}\left({\partial \Psi \over \partial y}\right)}$

${\displaystyle {\partial \over \partial y}\left(M(x,y)\right)={\partial \over \partial y}\left(N(x,y)\right)}$

Rujukan