4元電流密度

4元電流密度（よんげんでんりゅうみつど、英語: four-current）とは、電荷密度と電流密度を相対論的な時空における4元ベクトルとして記述したものである。

4元電流密度はローレンツ変換の下でベクトル[要曖昧さ回避]として変換する4元ベクトルであり、時間成分は電荷密度 ρ、空間成分が電流密度 j であり

j μ = ( ρ c , j ) {\displaystyle j^{\mu }=(\rho c,{\boldsymbol {j}})}

と書かれる。光速度 c により電荷密度の次元が電流密度の次元に換算される。

基礎方程式

電荷の保存則を表す連続の方程式は、4元ベクトルの発散

∂ μ j μ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0}

の形で書かれる。

4元電流密度は電磁場の源（ソース）でありマクスウェルの方程式

∂ ν F ν μ = ∂ ν ∂ ν A μ − ∂ μ ∂ ν A ν = − μ 0 j μ {\displaystyle \partial _{\nu }F^{\nu \mu }=\partial _{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu }-\partial ^{\mu }\partial _{\nu }A^{\nu }=-\mu _{0}j^{\mu }}

を満たす。ここで F は電磁場テンソル、A は電磁ポテンシャルである。また μ0 は磁気定数である。

また、4元電流密度は、電磁場からローレンツ力

f μ = j ν F ν μ {\displaystyle f_{\mu }=j^{\nu }F_{\nu \mu }}

を受ける。

ラグランジュ形式

物質 X と電磁場 A が相互作用する系の作用積分は

S X [ X ] + S A [ A ] + S int [ X , A ] {\displaystyle S_{X}[X]+S_{A}[A]+S_{\text{int}}[X,A]}

と書かれる。相互作用項 Sint は一般に

S int [ X , A ] = 1 c ∫ j μ A μ ( x ) − g d 4 x {\displaystyle S_{\text{int}}[X,A]={\frac {1}{c}}\int j^{\mu }A_{\mu }(x){\sqrt {-g}}\,d^{4}x}

の形で書かれるため、4元電流密度は汎関数微分により

j μ ( x ) = c − g δ S int [ X , A ] δ A μ ( x ) {\displaystyle j^{\mu }(x)={\frac {c}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta S_{\text{int}}[X,A]}{\delta A_{\mu }(x)}}}

と表される。

微視的に見ると4元電流密度は荷電粒子の集合であり、4元電流密度は粒子を記述する力学変数 X の関数として書かれる。粒子の系がどのように記述されるかによって、相互作用項の具体形は変化し、それに伴って4元電流密度の具体形も変化する。

古典粒子

古典的な粒子系を考えるとき、粒子はその位置によって記述される。4元電流密度は相対論的に取り扱われる量であり、粒子も相対論的な系を考える。 位置 Xi にある粒子が電荷 qi を帯びているとき、作用汎関数は

S int [ X , A ] = ∑ i q i ∫ d X i μ d λ A μ ( X i ) d λ = ∫ ∑ i q i ∫ d λ ( d X i μ d λ δ 4 ( X i ( λ ) − x ) ) A μ ( x ) d 4 x {\displaystyle {\begin{aligned}S_{\text{int}}[X,A]&=\sum _{i}q_{i}\int {\frac {dX_{i}^{\mu }}{d\lambda }}A_{\mu }(X_{i})\,d\lambda \\&=\int \sum _{i}q_{i}\int d\lambda \left({\frac {dX_{i}^{\mu }}{d\lambda }}\,\delta ^{4}(X_{i}(\lambda )-x)\right)A_{\mu }(x)\,d^{4}x\\\end{aligned}}}

で書かれる。したがって、この系の4元電流密度は

j μ ( x ) = ∑ i q i c − g ∫ X ˙ i μ ( λ ) δ 4 ( X i ( λ ) − x ) d λ {\displaystyle j^{\mu }(x)=\sum _{i}{\frac {q_{i}c}{\sqrt {-g}}}\int {\dot {X}}_{i}^{\mu }(\lambda )\,\delta ^{4}(X_{i}(\lambda )-x)\,d\lambda }

である。

「相対論的力学」も参照

フェルミ粒子

量子論的なフェルミ粒子の系は、ディラック場 ψ で記述される。質量が m の自由なフェルミ粒子の運動項は

S ψ [ ψ ] = ∫ [ i ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ ( x ) − m ψ ¯ ψ ( x ) ] d 4 x {\displaystyle S_{\psi }[\psi ]=\int \left[i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi (x)-m{\bar {\psi }}\psi (x)\right]\,d^{4}x}

で与えられる。ここで γ はガンマ行列である。

フェルミ粒子と電磁場との相互作用は、ゲージ理論に基づいて、微分を共変微分へ置き換える最小結合の理論で記述される。 従って、フェルミ粒子の運動項と相互作用項は

S ψ [ ψ ] + S int [ ψ , A ] = ∫ [ i ψ ¯ γ μ ( ∂ μ − i e A μ Q ) ψ ( x ) − m ψ ¯ ψ ( x ) ] d 4 x {\displaystyle S_{\psi }[\psi ]+S_{\text{int}}[\psi ,A]=\int \left[i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }(\partial _{\mu }-ieA_{\mu }Q)\psi (x)-m{\bar {\psi }}\psi (x)\right]\,d^{4}x}

の形となる。ここで e は電磁相互作用の結合定数である電気素量である。また、Q はディラック場 ψ の U(1)em の下での変換性を表すチャージである。

従って相互作用項は

S int [ ψ , A ] = e ∫ ψ ¯ Q γ μ ψ ( x ) A μ ( x ) d 4 x {\displaystyle S_{\text{int}}[\psi ,A]=e\int {\bar {\psi }}Q\gamma ^{\mu }\psi (x)A_{\mu }(x)\,d^{4}x}

であり、4元電流密度は

j μ ( x ) = e ψ ¯ Q γ μ ψ ( x ) {\displaystyle j^{\mu }(x)=e{\bar {\psi }}Q\gamma ^{\mu }\psi (x)}

となる。

「量子電磁力学」も参照

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