正則グラフ

正則グラフ（せいそくグラフ、英: regular graph）は、グラフ理論において、各頂点の隣接する頂点数が全て同じであるようなグラフである。すなわち、全ての頂点の次数が等しい。頂点の次数が k の正則グラフを 「k-正則グラフ」または「次数 k の正則グラフ」と呼ぶ。

次数2までの正則グラフの分類は容易である。0-正則グラフは連結されていない頂点で構成され、1-正則グラフは連結されていない辺で構成され、2-正則グラフは連結されていない閉路で構成される。

3-正則グラフは立方体グラフとも呼ばれる。

正則グラフのうち、隣接する2つの頂点に共通する隣接点が常に同じ l 個で、隣接しない2つの頂点に共通する隣接点が常に同じ n 個となっているものを強正則グラフという。正則だが強正則でない最小のグラフは、6頂点の閉路グラフかつ循環グラフである。

完全グラフ ${\displaystyle K_{m}}$ は任意の ${\displaystyle m}$ について強正則である。

クリスピン・ナッシュ＝ウィリアムズの定理によれば、2k+1 個の頂点から成る k-正則グラフには必ずハミルトン路がある。

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  0-正則グラフ
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  1-正則グラフ
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  2-正則グラフ
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  3-正則グラフ

代数的属性

あるグラフの隣接行列を A とする。そのグラフが正則であることは、A の固有ベクトルが ${\displaystyle {\textbf {j}}=(1,\dots ,1)}$ であることと同値である^[1]。その場合、その固有値はそのグラフの次数となる。他の固有値に対応した固有ベクトルは ${\displaystyle {\textbf {j}}}$ と直交なので、そのような固有ベクトル ${\displaystyle v=(v_{1},\dots ,v_{n})}$ について ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}v_{i}=0}$ が成り立つ。

次数 k の正則グラフが連結していることと、固有値 k の重複度が1であることは同値である^[1]。

正則な連結グラフの判定基準も存在する。グラフが連結かつ正則であることと、${\displaystyle J_{ij}=1}$ である行列 J がそのグラフの隣接代数（Aの冪乗の1次結合）にあることは同値である。^[要出典]

グラフGはk-正則グラフで、直径D、隣接行列の固有値群は ${\displaystyle k=\lambda _{0}>\lambda _{1}\geq \dots \geq \lambda _{n-1}}$ とする。Gが2部グラフでないなら、次が成り立つ。

${\displaystyle D\leq {\frac {\log {(n-1)}}{\log(k/\lambda )}}+1}$

ここで ${\displaystyle \lambda =\max _{i>0}\{\mid \lambda _{i}\mid \}}$ である。^[要出典]

生成

正則グラフを生成するソフトウェアとして GenReg がある^[2]。

脚注・出典

関連項目

• 強正則グラフ

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Regular Graph". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Strongly Regular Graph". mathworld.wolfram.com (英語).
• GenReg software and data by Markus Meringer.
• Nash-Williams, Crispin (1969), “Valency Sequences which force graphs to have Hamiltonian Circuits”, University of Waterloo Research Report, Waterloo, Ontario: University of Waterloo 

表 話 編 歴 グラフ理論
要素・定義・表現	頂点 辺（英語版） グラフ 無向 有向 ラベル付き（英語版） 重み付き（英語版） ハイパーグラフ 接続行列 隣接行列 隣接リスト
指標	位数（英語版） サイズ（英語版） 次数 次数行列 距離（英語版） 半径 直径 内周 (頂点)彩色数 辺彩色数（英語版） 点連結度 辺連結度 交叉数（英語版）
部分構造	ループ（英語版） 多重辺（英語版） 部分グラフ（英語版） 誘導部分グラフ 道 閉道 連結成分（英語版） 強連結成分（英語版） 橋（英語版） カット クリーク 独立集合 支配集合（英語版） マッチング オイラー路 シュタイナー木 全域木 ハミルトン路
全体構造	連結グラフ 正則グラフ 立方体グラフ ケージ 強正則グラフ 木 平面グラフ 2部グラフ 有向非巡回グラフ 弦グラフ ムーアグラフ パーフェクトグラフ 対称グラフ 半対称グラフ 頂点推移グラフ 辺推移グラフ 距離推移グラフ 補グラフ 双対グラフ グラフ同型
固有名を持つグラフ	パスグラフ（英語版）Pn 閉路グラフCn 完全グラフKn 完全2部グラフKm,n スターSn = K1,n 車輪グラフWn 空グラフ ピーターセングラフ ヒーウッドグラフ マギーグラフ ホフマンシングルトングラフ フォークマングラフ
トピック・定理	一筆書き オイラーの多面体定理 クラトフスキの定理 四色定理 五色定理 ケイリーの公式 プリューファー列 最短経路問題 巡回セールスマン問題 中国人郵便配達問題 ダイクストラ法 ベルマン-フォード法 ワーシャル-フロイド法 ハミルトン閉路問題 最大クリーク問題 頂点被覆問題 最小頂点被覆問題 最大独立集合問題 最大流最小カット定理 支配集合問題 次数直径問題 安定結婚問題
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