ペロンの公式

数学、特に解析的整数論におけるペロンの公式（ペロンのこうしき、英: Perron's formula）とは、オスカー・ペロン（英語版、ドイツ語版）による、逆メリン変換を用いて数論的関数の和を計算する公式である。

主張

• ${\displaystyle \{a(n)\}_{n}}$ を数論的関数（つまり複素数の列）とし、

${\displaystyle g(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}},\quad s\in \mathbb {C} }$

を対応するディリクレ級数とする。実数 ${\displaystyle c>0}$ があって、この級数は半平面 ${\displaystyle \{s|\mathrm {Re} (s)>c\}}$ で一様収束するものとする。

• 実数 ${\displaystyle x>0}$ に対し

${\displaystyle A(x):={\sum _{1\leq n\leq x}}'a(n)}$

と定義する。ここでプライムのついた和記号は、${\displaystyle x}$ が自然数のときは最後の項に限り 1/2 を掛けて和をとることを意味する。

このときペロンの公式は、

${\displaystyle A(x)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}g(s){\frac {x^{s}}{s}}ds}$

右辺の複素積分は ${\displaystyle \int _{c-i\infty }^{c+i\infty }g(s){\frac {x^{s}}{s}}ds}$ と書かれることも多い。この表示のときはコーシーの主値をとっているものと解釈する。

証明のスケッチ

アーベルの総和公式：

${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq M}a_{n}\phi (n)=A(M)\phi (M)-\int _{1}^{M}A(x)\phi '(x)\,dx}$

において ${\displaystyle \phi (x)=x^{-s}}$ とおき、

${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq M}a_{n}n^{-s}=A(M)M^{-s}+s\int _{1}^{M}A(x)x^{-s-1}dx}$

${\displaystyle M\to \infty }$ とすると ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>0}$ だから右辺第1項は消えて

${\displaystyle g(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }A(x)x^{-(s+1)}dx}$

変数変換 ${\displaystyle x=e^{t}}$ をして変形すると、

${\displaystyle {\frac {g(s)}{s}}=\int _{0}^{\infty }A(e^{t})e^{-st}dt}$

この右辺はラプラス変換そのものである。よって逆ラプラス変換^{[注釈 1]}により

${\displaystyle A(e^{t})={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}{\frac {g(z)}{z}}e^{tz}dz}$

${\displaystyle A(x)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}{\frac {g(z)}{z}}x^{z}dz}$

例

ディリクレ級数との関連から、ペロンの公式（もしくは証明のスケッチに現れた等式）は数論的な和に関してよく用いられる。

• リーマンゼータ関数は半平面 ${\displaystyle \{s\in \mathbb {C} |\mathrm {Re} (s)>1\}}$ で

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

とディリクレ級数表示され、このとき ${\displaystyle a(n)\equiv 1}$ より ${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor }$（床関数）となり

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}}\,dx}$

• 一般にディリクレのL-関数に対しては、

${\displaystyle L(s,\chi )=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(x)}{x^{s+1}}}\,dx}$

ここで ${\displaystyle A(x)=\sum _{1\leq n\leq x}\chi (n)}$ ^{[注釈 2]}はディリクレ指標 ${\displaystyle \chi (n)}$ の和。

• 他にも、Mertens関数（英語版）（1から n までのメビウス関数の和）の値をリーマンゼータ関数の複素積分で表したり、チェビシェフ関数（フォン・マンゴルト関数の和）を含む積分値をリーマンゼータ関数を使った比で表示するといった応用がある。

一般化

ペロンの公式はメリンの離散的畳み込みの特別な場合である。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a(n)f(n/x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }F(s)G(s)x^{s}ds}$

ここで ${\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$ とし、 ${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(x)x^{s-1}dx}$ はメリン変換である。

試験関数を ${\displaystyle f(1/x)=\theta (x-1)}$ （ ${\displaystyle \theta (x)}$ はヘヴィサイドの階段関数）と選ぶとペロンの公式が得られる。

脚注

参考文献

• Page 243 of Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR0434929, Zbl 0335.10001 
• Weisstein, Eric W. "Perron's formula". mathworld.wolfram.com (英語).
• Tenenbaum, Gérald C.B. Thomas訳 (1995). Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 46. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-41261-7. Zbl 0831.11001