バナッハ空間の一覧

数学の函数解析学の分野において、バナッハ空間（バナッハくうかん、英: Banach spaces）は最も重要な研究対象の一つである。その他の解析学の分野においても、実際に現れる空間の多くはバナッハ空間である。

古典バナッハ空間

Diestel (1984, Chapter VII) によると、古典バナッハ空間（classical Banach spaces）は Dunford & Schwartz (1958) によって定義されたもので、それらを以下の表に示す。

以下の表で、K は実または複素数体を表し、I は有界閉区間 [a, b] を表す。p は 1 < p < ∞ を満たす実数で、q はそのヘルダー共役（これも 1 < q < ∞ を満たす）を表す。すなわち

1 q + 1 p = 1 ( ⟺ q = p p − 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}=1\quad (\iff q={\frac {p}{p-1}})}

である。記号 Σ は σ-集合代数を表し、Ξ は（ba空間のような有限加法性のみが要求される空間に対する）ある集合代数を表す。また記号 μ は正測度、すなわち、適当な σ-集合代数上で定義される可算加法的な正の実数値集合函数とする。

古典バナッハ空間
双対 回帰性 弱完備 ノルム 注釈
Kn Kn Yes Yes ‖ x ‖ 2 = ( ∑ i = 1 n | x i | 2 ) 1 / 2 {\displaystyle \|x\|_{2}={\bigg (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}{\bigg )}^{1/2}}
ℓ n
p  		ℓ n
q 		 Yes Yes ‖ x ‖ p = ( ∑ i = 1 n | x i | p ) 1 / p {\displaystyle \|x\|_{p}={\bigg (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\bigg )}^{1/p}}
ℓ n
∞  		ℓ n
1 		 Yes Yes ‖ x ‖ ∞ = max 1 ≤ i ≤ n | x i | {\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq n}|x_{i}|}
ℓp ℓq Yes Yes ‖ x ‖ p = ( ∑ i = 1 ∞ | x i | p ) 1 / p {\displaystyle \|x\|_{p}={\bigg (}\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}{\bigg )}^{1/p}} 1 < p < ∞
ℓ1 ℓ∞ No Yes ‖ x ‖ 1 = ∑ i = 1 ∞ | x i | {\displaystyle \|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|}
ℓ∞ ba No No ‖ x ‖ ∞ = sup i | x i | {\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup _{i}|x_{i}|}
c ℓ1 No No
c0 No No c と同型であるが等長ではない。
bv ℓ1+K No Yes ‖ x ‖ b v = | x 1 | + ∑ i = 1 ∞ | x i + 1 − x i | {\displaystyle \|x\|_{bv}=|x_{1}|+\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|}
bv0 ℓ1 No Yes ‖ x ‖ b v 0 = ∑ i = 1 ∞ | x i + 1 − x i | {\displaystyle \|x\|_{bv_{0}}=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|}
bs ba No No ‖ x ‖ b s = sup n | ∑ i = 1 n x i | {\displaystyle \|x\|_{bs}=\sup _{n}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right|} ℓ∞ と等長同型。
cs ℓ1 No No c と等長同型。
B(X,Ξ) ba(Ξ) No No ‖ f ‖ B = sup x ∈ X | f ( x ) | {\displaystyle \|f\|_{B}=\sup _{x\in X}|f(x)|}
C(X) rca(X) No No X はコンパクトハウスドルフ空間。
ba(Ξ) ? No Yes ‖ μ ‖ b a = sup A ∈ Σ | μ | ( A ) {\displaystyle \|\mu \|_{ba}=\sup _{A\in \Sigma }|\mu |(A)} 測度の変動（英語版）
ca(Σ) ? No Yes
rca(Σ) ? No Yes
Lp(μ) Lq(μ) Yes Yes ‖ f ‖ p = ( ∫ | f | p d μ ) 1 / p {\displaystyle \|f\|_{p}={\bigg (}\int |f|^{p}\,d\mu {\bigg )}^{1/p}} 1 < p < ∞
L1(μ) L∞(μ) No ? ‖ f ‖ 1 = ∫ | f | d μ {\displaystyle \|f\|_{1}=\int |f|\,d\mu } 測度 μ が S 上で σ-有限である場合。
L∞(μ) N ⊥
μ 		 No ? ‖ f ‖ ∞ ≡ inf { C ≥ 0 : | f ( x ) | ≤ C , a.e.  x } {\displaystyle \|f\|_{\infty }\equiv \inf\{C\geq 0:|f(x)|\leq C,{\text{a.e. }}x\}} N⊥
μ = {σ ∈ ba(Σ) | λ ≪ μ}
BV(I) ? No Yes ‖ f ‖ B V = lim x → a + f ( x ) + V f ( I ) {\displaystyle \|f\|_{BV}=\lim _{x\to a^{+}}f(x)+V_{f}(I)} Vf(I) は f の全変動（英語版）。
NBV(I) ? No Yes f ∈ NBV(I) (⊂ BV(I)) ⇔ lim x → a + f ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=0}
AC(I) K+L∞(I) No Yes ソボレフ空間 W1,1(I) と同型。
Cn(I) rca(I) No No ‖ f ‖ = ∑ i = 0 n sup x ∈ [ a , b ] | f ( i ) ( x ) | {\displaystyle \|f\|=\sum _{i=0}^{n}\sup _{x\in [a,b]}|f^{(i)}(x)|} 特にテイラーの定理により Rn ⊕ C(I) と同型。

その他の解析の分野におけるバナッハ空間

反例を与えるバナッハ空間

  • ジェームズ空間：シャウダー基底（英語版）を持つが無条件シャウダー基底を持たないバナッハ空間。ジェームズ空間はその二重双対と等長同型であるが、回帰的ではない。
  • チレルソン空間（英語版）：ℓpとc0のいずれも埋め込むことの出来ない回帰的バナッハ空間。
  • ウィリアム・ティモシー・ガワーズにより構成された、 X ⊕ X ⊕ X {\displaystyle X\oplus X\oplus X} と同型であるが X ⊕ X {\displaystyle X\oplus X} と同型でないような空間 X はシュレーダー＝ベルンシュタインの定理の前提条件を弱める反例を与える[1]。

注釈

  1. ^ W.T. Gowers, "A solution to the Schroeder–Bernstein problem for Banach spaces", Bulletin of the London Mathematical Society, 28 (1996) pp. 297–304.

参考文献

  • Diestel, Joseph (1984), Sequences and series in Banach spaces, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90859-5 .
  • Dunford, N.; Schwartz, J.T. (1958), Linear operators, Part I, Wiley-Interscience .