In fisica, in particolare in elettromagnetismo, il tensore elettromagnetico, anche detto tensore del campo elettromagnetico, tensore dello sforzo del campo, tensore di Faraday o bivettore di Maxwell, è un tensore che descrive il campo elettromagnetico.
Il tensore di campo fu usato per la prima volta da Hermann Minkowski, e consente di scrivere le leggi fisiche in maniera molto concisa e generale.
Definizione
Il tensore elettromagnetico
è definito come:[1]
![{\displaystyle F_{\alpha \beta }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial A_{\beta }}{\partial x^{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial x^{\beta }}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76cbcfcf54448a5188cc199294545be663e03423)
dove
è il potenziale quadrivettoriale:
![{\displaystyle A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ab79d39d07da554d6688d25bc31c05255f7812f)
in cui
è il potenziale magnetico, un potenziale vettore, e
è il potenziale elettrico, un potenziale scalare. La forma del tensore esprime il fatto che il campo elettrico ed il campo magnetico sono definiti a partire dal quadripotenziale nel seguente modo:[2]
![{\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \phi \qquad \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d6f9309686d4d94cabf8c3600754ae7ea7a70a)
Ad esempio, le componenti
sono:
![{\displaystyle E_{x}=-{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}-{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\qquad B_{x}={\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde43e898b31f9485944c610ff4d2aef342e0fcb)
che si possono riscrivere (ricordando che abbassando gli indici del tensore A tramite la metrica di Minkowski cambiamo segno alla componente temporale) come:
![{\displaystyle E_{1}=c\left(\partial _{0}A_{1}-\partial _{1}A_{0}\right)\qquad B_{1}=\partial _{2}A_{3}-\partial _{3}A_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e69ac3f62e3f61cdb6f013235aba32cb92ab448f)
Il tensore elettromagnetico può quindi essere definito anche come la derivata esterna della forma 1-differenziale
:
![{\displaystyle F_{\mu \nu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ dA_{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9676ba82acd2a9898ce844e2080e234fe35fbc7d)
Dal momento che il tensore elettromagnetico è una forma 2-differenziale sullo spaziotempo, in un sistema di riferimento inerziale la matrice che lo rappresenta è:[3]
![{\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}=\left({\mathbf {E} \over c},\mathbf {B} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0714e2970a96d752752abf258499787f928746e)
oppure:
![{\displaystyle F_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}=\left(-{\mathbf {E} \over c},\mathbf {B} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cb9b0a3816bcb686bc264742c6cfd6223901141)
Dalla forma matriciale del tensore di campo si evince che il tensore elettromagnetico è un tensore antisimmetrico:
![{\displaystyle F_{\alpha \beta }=-F_{\beta \alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/782bc21b5180045a95470132fa58ae9b423951bd)
la cui traccia è nulla, e possiede sei componenti indipendenti. Il prodotto interno dei tensori del campo è inoltre un invariante di Lorentz:
![{\displaystyle F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }=\ 2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\right)=\mathrm {invariante} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90449a7fe1c0ebdbc53845ad73fbcc271138d851)
mentre il prodotto del tensore
con il suo tensore duale dà un'invariante pseudoscalare:
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }F^{\alpha \beta }F^{\gamma \delta }=-{\frac {4}{c}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)=\mathrm {invariante} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a0382018d270b44b2d7e73f73f2b3a4f7ec1aa)
dove
è il tensore unitario completamente antisimmetrico del quart'ordine o tensore di Levi-Civita. Si noti che:
![{\displaystyle \det \left(F\right)={\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/661fa91500926eb8469ff203d28bd0c86db740d2)
Derivazione
Si consideri una particella con carica elettrica
e massa
posta in una regione in cui è presente un campo elettromagnetico. Sia
la velocità della particella e
la quantità di moto, con
il potenziale vettore. La sua energia potenziale e la sua energia cinetica hanno la forma:
![{\displaystyle U=e\phi (\mathbf {r} ,t)-e\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {\dot {r}} \qquad T={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/452f9f2d913cece969407a9fc32ade0c57c713e5)
dove
è il potenziale elettrico. La lagrangiana
permette di descriverne il moto, ed è definita come:[4]
![{\displaystyle {\mathcal {L}}=T-U={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +e\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -e\phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad57cf282f5e7bc115e7db5c4c5d620b4d827f8e)
ovvero:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})+e({\dot {x}}A_{x}+{\dot {y}}A_{y}+{\dot {z}}A_{z})-e\phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c0153a5044ee88e939c03c2efbb36b73fe52bf9)
In notazione relativistica, sfruttando l'intervallo spaziotemporale (scalare)
, dove
è la posizione, l'azione
è definita come l'integrale della lagrangiana nel tempo tra gli istanti iniziale e finale dell'evoluzione del sistema:[5]
![{\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}dt=\int _{a}^{b}\left(-mcds-{e \over c}A_{i}dx^{i}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3784e4bc8993eefaab3a9ebe7d5796a584e0e04c)
con
il quadripotenziale. Il principio di minima azione stabilisce che il moto di un sistema fisico fra due istanti dello spazio delle fasi è tale che l'azione sia stazionaria in corrispondenza della traiettoria del moto per piccole perturbazioni dello stesso (
), ovvero:[6]
![{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\delta \int \left(-mc\,ds-{e \over c}A_{i}dx^{i}\right)=-\int _{a}^{b}\left(mc\,{\frac {dx_{i}d\delta x^{i}}{ds}}+{e \over c}A_{i}d\delta x^{i}+{e \over c}\delta A_{i}dx^{i}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dcca10d4e96f4372fdedfc8a822f47c3a38c878)
Se si integra per parti si ottiene:
![{\displaystyle \int \left(mc\,du_{i}\delta x^{i}+{e \over c}\delta x^{i}dA_{i}+{e \over c}\delta A_{i}dx^{i}\right)-\left(mcu_{i}+{e \over c}A_{i}\right)\delta x^{i}|=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b43395da6467514e34ec1c0248ca23fe6ddbba)
con
la quadrivelocità. Dato che il secondo termine è nullo e che:
![{\displaystyle \delta A_{i}={\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}\delta x^{k}\qquad dA_{i}={\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}dx^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a4a689b27dbde72bc215e7bee66e179b18b469)
si ha:
![{\displaystyle \int \left(mc\,du_{i}\delta x^{i}+{e \over c}\delta x^{i}{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}dx^{k}+{e \over c}{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}\delta x^{k}dx^{i}\right)=\left[mc{du_{i} \over ds}-{e \over c}\left({\frac {\partial A_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}\right)u^{k}\right]\delta x^{i}ds=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2939b154baa603833fb9847db3b2c095587c71)
dove nel secondo passaggio si è sfruttato il fatto che
e
. Ponendo:
![{\displaystyle F_{ik}\equiv {\frac {\partial A_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b35a1ce4d270b77d73494d1152bd8d8d3856fb97)
si ha:
![{\displaystyle mc{du_{i} \over ds}-{e \over c}F_{ik}u_{k}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3535bb97476f20a30a3a6ac323afa604d145057)
che è l'equazione del moto per una particella carica in un campo elettromagnetico.[7]
In elettrodinamica quantistica la lagrangiana estende quella classica, ed in forma relativistica è data da:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\hbar c\,\gamma ^{\alpha }D_{\alpha }-mc^{2})\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a337a7fad7733b66c3f501c17c8e494152a44921)
incorporando la creazione e l'annichilazione di fotoni (e elettroni).
L'elettromagnetismo classico e le equazioni di Maxwell possono essere derivati da un principio di azione stazionaria partendo dall'azione:
![{\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \left(-{\tfrac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)\mathrm {d} ^{4}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94653f65a360dfd88cbaf70e5619d0f409ecf516)
dove
è ambientata nello spaziotempo. Questo significa che la densità di lagrangiana è:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=-{\tfrac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\\&=-{\tfrac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\right)\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)\\&=-{\tfrac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu }+\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d1824e95ec98c5f4e76d2909401507671ebbdb)
Il primo e il quarto termine sono uguali, perché
e
sono indici muti. Anche i restanti sono uguali, e quindi la lagrangiana è:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\tfrac {1}{2\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64ba904cfbae7d1f6d1480d14df1992f537f440)
Usando l'equazione di Eulero-Lagrange per un campo si ha:
![{\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f63f649f2baa70ebc00993b893380fadc34fe78)
dove il secondo termine è zero in quanto la lagrangiana non contiene esplicitamente i campi, ma solo le loro derivate. Quindi l'equazione di Eulero-Lagrange assume la forma:
![{\displaystyle \partial _{\nu }\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49356fb7dabb6dabf6c544c4459a9a8e42246b90)
in cui il termine tra le parentesi è il tensore di campo
, e quindi:
![{\displaystyle \partial _{\nu }F^{\mu \nu }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc820b8ace747432972e430d61fc7b3e8ef89da8)
Questa equazione è un altro modo per scrivere le due equazioni di Maxwell non omogenee in assenza di sorgenti nel vuoto, usando le sostituzioni:
![{\displaystyle ~E^{i}/c\ \ =-F^{0i}\qquad \varepsilon ^{ijk}B^{k}=-F^{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b0ea8516aef28874087307ad18de0cec0ec3df9)
dove
and
prendono i valori 1, 2, e 3. In presenza di sorgenti le equazioni di Maxwell non omogenee sono:
![{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\qquad \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mu _{0}\mathbf {J} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae86980f98878d666fd2848f09869d1814649e0)
e si riducono a:[8]
![{\displaystyle \partial _{\nu }F^{\nu \mu }=\mu _{0}J^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ecec8db33457da5a4b867e33a0b66ddd2b3d2c7)
dove:
![{\displaystyle J^{\nu }=(c\,\rho ,\mathbf {J} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebb11754994a22acd5e3f65bde3a081f5f5f3c1c)
è la quadricorrente. Le equazioni omogenee:
![{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} =0\qquad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c91cbd23f8b874ef1e9dfb55d90fbd5cded45a0f)
si riducono invece a:
![{\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a574c5f6a069e2b43bc546960ef01b8356834193)
Nel momento in cui si passa dalla descrizione del campo in termini delle coordinare rispetto ad un sistema inerziale
alla medesima descrizione rispetto ad un altro sistema inerziale
, il tensore elettromagnetico si trasforma secondo la legge:
![{\displaystyle F'^{\alpha \beta }={\frac {\partial x'^{\alpha }}{\partial x^{\gamma }}}{\frac {\partial x'^{\beta }}{\partial x^{\delta }}}F^{\gamma \delta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e41b6679bd2f35076ff71d9d41e25b9fbbcb2982)
Detta
la matrice di trasformazione della relativa trasformazione di Lorentz, si ha in modo equivalente:
![{\displaystyle F'=AFA^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24ca1fb432e9fdbe28ed22545e2bf55d6173ac67)
dove l'asterisco denota la matrice trasposta.
Le espressioni spaziali dei campi ottenute per una traslazione di
rispetto a
lungo l'asse delle ascisse con velocità
sono:
![{\displaystyle E_{1}'=E_{1}\qquad B_{1}'=B_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d9d81785e5b321bc9a106e6807277837040c206)
![{\displaystyle E_{2}'=\gamma (E_{2}-\beta B_{3})\qquad B_{2}'=\gamma (B_{2}+\beta E_{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1da975e8618031c939765d6e47b15133398ea45)
![{\displaystyle E_{3}'=\gamma (E_{3}+\beta B_{2})\qquad B_{3}'=\gamma (B_{3}-\beta E_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76b00a19e5aea5516ac6f039db2e3c8f97726226)
Per una trasformazione di Lorentz generica, si ha:[9]
![{\displaystyle \mathbf {E} '=\gamma (\mathbf {E} +{\vec {\beta }}\times \mathbf {B} )-{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\vec {\beta }}({\vec {\beta }}\cdot \mathbf {E} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47059d7c63dfe6f279556fc1a100376cc7c06f01)
![{\displaystyle \mathbf {B} '=\gamma (\mathbf {B} -{\vec {\beta }}\times \mathbf {E} )-{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\vec {\beta }}({\vec {\beta }}\cdot \mathbf {B} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ec3e8b8e65e01c98cb077a7cd3eb495e530f39)
Tali espressioni mostrano come il campo magnetico ed il campo elettrico siano due manifestazioni dello stesso campo, il campo elettromagnetico. A seconda del sistema di riferimento lo stesso campo si osserva in modo diverso, ed è possibile trovare due sistemi tali per cui in uno di essi il campo è puramente magnetico o puramente elettrico, mentre nell'altro si osservano entrambi. Non esistono tuttavia due sistemi in cui il campo elettromagnetico sia contemporaneamente elettrostatico e magnetostatico rispettivamente.
Note
- ^ Jackson, p. 556.
- ^ Jackson, p. 555.
- ^ Landau e Lifšic, p. 90.
- ^ Classical Mechanics (2nd Edition), T.W.B. Kibble, European Physics Series, Mc Graw Hill (UK), 1973, ISBN 0-07-084018-0.
- ^ Landau e Lifšic, p. 69.
- ^ Landau e Lifšic, p. 88.
- ^ Landau e Lifšic, p. 89.
- ^ Jackson, p. 557.
- ^ Jackson, p. 558.
Bibliografia
- (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3ª ed., Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
- Lev D. Landau e Evgenij M. Lifšic, Fisica teorica 2 - Teoria dei campi, Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-359-5358-8.
Voci correlate
Portale Elettromagnetismo
Portale Relatività