Serie di Mengoli

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La serie di Mengoli, così chiamata in onore di Pietro Mengoli, è la serie definita come

∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) = 1 2 + 1 6 + 1 12 + 1 20 . . . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{20}}...} .

Questa serie risulta convergente a 1. Infatti si ha che la serie:

1 n ( n + 1 ) = 1 n − 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}}

Abbiamo pertanto che

∑ n = 1 k ( 1 n − 1 n + 1 ) = ( 1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ⋯ + ( 1 k − 1 k + 1 ) = = 1 + ( − 1 2 + 1 2 ) + ( − 1 3 + 1 3 ) + ⋯ + ( − 1 k + 1 k ) − 1 k + 1 = = 1 − 1 k + 1 ⟶ 1 , per  k → ∞ . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{k}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)=&\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)=\\&=1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}\right)-{\frac {1}{k+1}}=\\&=1-{\frac {1}{k+1}}\longrightarrow 1{\mbox{, per }}k\to \infty .\end{aligned}}}

Risulta però interessante notare come ogni elemento delle successioni parziali si elimini con il termine successivo:

∑ n = 1 ∞ ( 1 n − 1 n + 1 ) = ( 1 1 − 1 2 ) + ( + 1 2 − 1 3 ) + ( + 1 3 − 1 4 ) + ⋯ + ( + 1 n − 1 − 1 n ) + ⋯ + ( 1 n − 1 n + 1 ) = 1 − 1 n + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)=\left({\frac {1}{1}}{\cancel {-{\frac {1}{2}}}}\right)+\left({\cancel {+{\frac {1}{2}}}}{\cancel {-{\frac {1}{3}}}}\right)+\left({\cancel {+{\frac {1}{3}}}}{\cancel {-{\frac {1}{4}}}}\right)+\cdots +\left({\cancel {+{\frac {1}{n-1}}}}{\cancel {-{\frac {1}{n}}}}\right)+\cdots +\left({\cancel {\frac {1}{n}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)=1-{\frac {1}{n+1}}\end{aligned}}}

di cui il limite risulta essere:

lim n → ∞ ( 1 − 1 n + 1 ) = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n+1}}\right)=1\end{aligned}}}

Inoltre non è possibile spezzare la sommatoria nella differenza di due serie:

∑ n = 1 ∞ 1 n − ∑ n = 1 ∞ 1 n + 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}}

poiché queste sono serie armoniche, ciascuna divergente.

La serie di Mengoli costituisce un esempio classico di serie telescopica.

Voci correlate

  • Serie
  • Serie armonica
  • Serie telescopica
  • Serie geometrica
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