Funzione aritmetica

In matematica, in particolare in teoria dei numeri, una funzione aritmetica f(n) è una funzione definita per tutti i numeri naturali positivi e che ha come valori numeri reali o complessi che "esprime alcune proprietà aritmetiche di n".

In altre parole: una funzione aritmetica non è altro che una successione di numeri reali o complessi con particolari proprietà aritmetiche. Le più importanti funzioni aritmetiche sono quelle additive e quelle moltiplicative. Un'importante operazione con le funzioni aritmetiche è la convoluzione di Dirichlet.

Proprietà

Una funzione aritmetica f può essere:

  • additiva, se f(nm)=f(n)+f(m) per ogni n,m numeri naturali coprimi;
  • completamente additiva, se f(nm)=f(n)+f(m) per ogni n,m numeri naturali;
  • moltiplicativa, se f(nm)=f(n)f(m) per ogni n,m numeri naturali coprimi;
  • completamente moltiplicativa, se f(nm)=f(n)f(m) per ogni n,m numeri naturali.

Funzioni additive

ω(n) – divisori primi distinti

La funzione ω(n) indica il numero di primi distinti che dividono n

ω ( n ) = k , {\displaystyle \omega (n)=k,}

se n = ∏ i = 1 k p i a i {\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{a_{i}}} , con pi primi distinti e ai interi positivi.

Funzioni completamente additive

Ω(n) – divisori primi

La funzione Ω(n) indica il numero di fattori primi di n contati con molteplicità

Ω ( n ) = ∑ i = 1 k a i , {\displaystyle \Omega (n)=\sum _{i=1}^{k}a_{i},}

se n = ∏ i = 1 k p i a i {\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{a_{i}}} , con pi primi distinti e ai interi positivi.

νp(n) – divisori potenze di primi

La funzione valutazione p-adica νp(n) indica il massimo esponente elevato al quale p divide n

ν p j ( n ) = a j , {\displaystyle \nu _{p_{j}}(n)=a_{j},}

se n = ∏ i = 1 k p i a i {\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{a_{i}}} , con pi primi distinti e ai interi positivi.

Funzioni moltiplicative

σk(n), τ(n), d(n) – somme di divisori

La funzione σk(n) è la somma delle potenze k-esime dei divisori positivi di n, incluso 1 e n, dove k è un numero complesso.

σ k ( n ) = ∏ i = 1 ω ( n ) p i ( a i + 1 ) k − 1 p i k − 1 = ∏ i = 1 ω ( n ) ( 1 + p i k + p i 2 k + ⋯ + p i a i k ) . {\displaystyle \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{\omega (n)}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)k}-1}{p_{i}^{k}-1}}=\prod _{i=1}^{\omega (n)}\left(1+p_{i}^{k}+p_{i}^{2k}+\cdots +p_{i}^{a_{i}k}\right).}

Nel caso particolare k=0, la funzione σ0(n) è semplicemente il numero dei divisori (positivi) n; ed è solitamente indicata semplicemente con d(n) o τ(n) (dal tedesco Teiler = divisore).

Sostituendo k = 0 nel secondo prodotto si ha

τ ( n ) = d ( n ) = ( 1 + a 1 ) ( 1 + a 2 ) ⋯ ( 1 + a ω ( n ) ) . {\displaystyle \tau (n)=d(n)=(1+a_{1})(1+a_{2})\cdots (1+a_{\omega (n)}).}

Nel caso particolare k=1, la funzione σ1(n) è semplicemente la somma dei divisori (positivi) di n ed è solitamente indicata semplicemente con σ(n).

φ(n) – funzione toziente di Eulero

La funzione toziente di Eulero φ(n) è il numero degli interi positivi minori di n coprimi con n.

φ ( n ) = n ∏ p | n ( 1 − 1 p ) = n ( p 1 − 1 p 1 ) ( p 2 − 1 p 2 ) … ( p ω ( n ) − 1 p ω ( n ) ) . {\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=n\left({\frac {p_{1}-1}{p_{1}}}\right)\left({\frac {p_{2}-1}{p_{2}}}\right)\ldots \left({\frac {p_{\omega (n)}-1}{p_{\omega (n)}}}\right).}

Jk(n) – funzione toziente di Jordan

La funzione toziente di Jordan Jk(n) è il numero delle k-ple di interi positivi minori o uguali a n che formano una (k + 1)-pla di numeri coprimi insieme a n.

J k ( n ) = n k ∏ p | n ( 1 − 1 p k ) = n k ( p 1 k − 1 p 1 k ) ( p 2 k − 1 p 2 k ) … ( p ω ( n ) k − 1 p ω ( n ) k ) . {\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)=n^{k}\left({\frac {p_{1}^{k}-1}{p_{1}^{k}}}\right)\left({\frac {p_{2}^{k}-1}{p_{2}^{k}}}\right)\ldots \left({\frac {p_{\omega (n)}^{k}-1}{p_{\omega (n)}^{k}}}\right).}

Nel caso particolare k=1 si ottiene la funzione toziente di Eulero J1(n)=φ(n).

μ(n) - funzione di Möbius

La funzione di Möbius μ(n) è importante a causa della formula di inversione di Möbius.

μ ( n ) = { ( − 1 ) ω ( n ) = ( − 1 ) Ω ( n ) if  ω ( n ) = Ω ( n ) 0 if  ω ( n ) ≠ Ω ( n ) . {\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\mbox{if }}\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\mbox{if }}\;\omega (n)\neq \Omega (n).\end{cases}}}

Funzioni completamente moltiplicative

λ(n) – funzione di Liouville

La funzione di Liouville λ(n) è definita da

λ ( n ) = ( − 1 ) Ω ( n ) . {\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}.}

χ(n) – caratteri

Tutti i caratteri di Dirichlet χ(n) sono completamente moltiplicativi.

Il carattere quadratico (mod n) è indicato con il simbolo di Jacobi per n dispari (non è definito per n pari):

( a n ) = ( a p 1 ) a 1 ( a p 2 ) a 2 ⋯ ( a p ω ( n ) ) a ω ( n ) . {\displaystyle {\Bigg (}{\frac {a}{n}}{\Bigg )}=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{a_{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{a_{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{\omega (n)}}}\right)^{a_{\omega (n)}}.}

In questa formula ( a p ) {\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})} è il simbolo di Legendre, definito per ogni intero a e per ogni primo p da

( a p ) = { 0  if  a ≡ 0 ( mod p ) + 1  if  a ≢ 0 ( mod p )  and for some integer  x , a ≡ x 2 ( mod p ) − 1  if there is no such  x . {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0{\mbox{ if }}a\equiv 0{\pmod {p}}\\+1{\mbox{ if }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\mbox{ and for some integer }}x,\;a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1{\mbox{ if there is no such }}x.\end{cases}}}

per l'usuale convenzione del prodotto vuoto si ha ( a 1 ) = 1. {\displaystyle \left({\frac {a}{1}}\right)=1.}

Funzioni né additive né moltiplicative

π(x) – enumerazione di primi

Diversamente dalle altre funzioni elencate in quest'articolo, questa è definita per valori reali non negativi (non solo interi).

La funzione enumerativa dei primi π(x) è il numero dei numeri primi minori o uguali a x.

π ( x ) = ∑ p ≤ x 1 {\displaystyle \pi (x)=\sum _{p\leq x}1}

Ad esempio si ha che π(1) = 0 e π(10) = 4 (i primi minori di 10 sono 2, 3, 5, e 7).

Λ(n) – funzione di von Mangoldt

La funzione di von Mangoldt Λ(n), è definita

Λ ( n ) = { log ⁡ p if  n = p k  is a prime power 0 if  n  is not a prime power . {\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\mbox{if }}n=p^{k}{\mbox{ is a prime power}}\\0&{\mbox{if }}n{\mbox{ is not a prime power}}.\end{cases}}}

p(n) – funzione partizione

La funzione p(n) indica il numero di modi di rappresentare n come somma di interi positivi (non considerando l'ordine degli addendi):

p ( n ) = | { ( a 1 , a 2 , … a k ) : 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ … ≤ a k ∧ n = a 1 + a 2 + ⋯ + a k } | . {\displaystyle p(n)=|\left\{(a_{1},a_{2},\dots a_{k}):0<a_{1}\leq a_{2}\leq \ldots \leq a_{k}\;\land \;n=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}\right\}|.}

rk(n) – somma di quadrati

La funzione rk(n) indica il numero di volte che n può essere rappresentato come somma di k quadrati (dove l'ordine degli addendi e il segno contano come differenti)

r k ( n ) = | { ( a 1 , a 2 , … , a k ) : n = a 1 2 + a 2 2 + ⋯ + a k 2 } | . {\displaystyle r_{k}(n)=|\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}):n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\}|.}

Ad esempio r4(n) è il numero di modi in cui n può essere espresso come somma di 4 quadrati di numeri non negativi. Ad esempio

1 = ( ± 1 ) 2 + 0 2 + 0 2 + 0 2 = 0 2 + ( ± 1 ) 2 + 0 2 + 0 2 = 0 2 + 0 2 + ( ± 1 ) 2 + 0 2 = 0 2 + 0 2 + 0 2 + ( ± 1 ) 2 , {\displaystyle 1=(\pm 1)^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}=0^{2}+(\pm 1)^{2}+0^{2}+0^{2}=0^{2}+0^{2}+(\pm 1)^{2}+0^{2}=0^{2}+0^{2}+0^{2}+(\pm 1)^{2},}

dunque r4(1)=8.

Bibliografia

  • Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Chapter 2).

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