Formula genere-grado

In matematica, e in particolare nella geometria algebrica classica, la formula genere-grado lega il grado d {\displaystyle d} di una curva piana C ⊂ P 2 {\displaystyle C\subset \mathbb {P} ^{2}} che ammette solo singolarità ordinarie con il suo genere geometrico g {\displaystyle g} mediante la formula:

g = ( d − 1 ) ( d − 2 ) 2 − ∑ P ∈ C r P ( r P − 1 ) 2 , {\displaystyle g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-\sum _{P\in C}{\frac {r_{P}(r_{P}-1)}{2}},}

dove r P {\displaystyle r_{P}} è la molteplicità del punto P {\displaystyle P} della curva.[1]

Se la curva è non singolare, le molteplicità sono tutte uguali a 1 {\displaystyle 1} e si ha la formula

g = 1 2 ( d − 1 ) ( d − 2 ) , {\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2),}

in tal caso il genere geometrico e il genere aritmetico della curva coincidono.

Dimostrazione

La dimostrazione segue immediatamente dalla formula di aggiunzione. Per una dimostrazione classica vedere il libro di Arbarello, Cornalba, Griffiths e Harris.

Generalizzazione

Per un'ipersuperficie non singolare H {\displaystyle H} di grado d {\displaystyle d} in P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} di genere aritmetico g {\displaystyle g} la formula diventa:

g = ( d − 1 n ) , {\displaystyle g={\binom {d-1}{n}},}

dove ( d − 1 n ) {\displaystyle {\tbinom {d-1}{n}}} è il coefficiente binomiale.

Note

  1. ^ Semple and Roth, Introduction to Algebraic Geometry, Oxford University Press (repr.1985) ISBN 0-19-853363-2. Pp. 53–54

Bibliografia

  • (EN) Arbarello, Cornalba, Griffiths, Harris. Geometry of algebraic curves. vol 1 Springer, ISBN 0-387-90997-4, appendix A. https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-5323-3
  • (EN) Griffiths and Harris, Principles of algebraic geometry, Wiley, ISBN 0-471-05059-8, chapter 2, section 1.
  • (EN) Robin Hartshorne (1977): Algebraic geometry, Springer, ISBN 0-387-90244-9.
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