Algebra simmetrica

In matematica, l'algebra simmetrica su uno spazio vettoriale V su un campo K è una particolare K-algebra commutativa; può essere vista come una rappresentazione dell'anello dei polinomi in K, con indeterminate corrispondenti agli elementi della base di V, senza una scelta delle coordinate.

È denotata con ${\displaystyle S(V)}$ o ${\displaystyle \mathrm {Sym} (V)}$.

L'algebra simmetrica può essere definita a partire dall'algebra tensoriale ${\displaystyle T(V)}$, "forzando" gli elementi di ${\displaystyle V}$ ad essere commutativi in ${\displaystyle T(V)}$: più precisamente, ${\displaystyle S(V)}$ può essere definita come l'anello quoziente di ${\displaystyle T(V)}$ rispetto all'ideale generato dagli elementi

${\displaystyle v\otimes w-w\otimes v}$,

al variare di ${\displaystyle v}$ e ${\displaystyle w}$ in ${\displaystyle V}$.

L'applicazione ${\displaystyle V\mapsto S(V)}$ può essere estesa ad un funtore tra la categoria dei ${\displaystyle K}$-spazi vettoriali e quella delle ${\displaystyle K}$-algebre.

L'algebra simmetrica ${\displaystyle S(V)}$ può essere vista come un'algebra graduata: l'insieme ${\displaystyle S^{k}(V)}$ degli elementi omogenei di grado k è lo spazio vettoriale generato dai monomi di grado k negli elementi di ${\displaystyle V}$; alternativamente, ${\displaystyle S^{k}(V)}$ può essere visto come il quoziente di ${\displaystyle T^{k}(V)}$ rispetto all'ideale ${\displaystyle I\cap T^{k}(V)}$, dove ${\displaystyle I}$ è l'ideale generato in ${\displaystyle T(V)}$ dagli elementi ${\displaystyle v\otimes w-w\otimes v}$.

Lo spazio ${\displaystyle S^{k}(V)}$ è chiamato la potenza simmetrica k-esima di ${\displaystyle V}$; la sua dimensione è pari a

${\displaystyle {\binom {n+k-1}{k}}}$,

dove n è la dimensione di ${\displaystyle V}$ su ${\displaystyle K}$. Così come ${\displaystyle V\mapsto S(V)}$, anche ogni applicazione ${\displaystyle V\mapsto S^{k}(V)}$ può essere estesa ad un funtore.

Ad esempio, ${\displaystyle S^{0}(V)}$ è sempre isomorfo a ${\displaystyle K}$, mentre ${\displaystyle S^{1}(V)}$ è sempre isomorfo a ${\displaystyle V}$.

Se ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}}$ è una base di ${\displaystyle V}$, allora si può definire un isomorfismo di algebre tra ${\displaystyle S(V)}$ e l'anello dei polinomi ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ in n indeterminate, mandando ${\displaystyle v_{i}}$ in ${\displaystyle X_{i}}$.

In particolare, questo mostra come l'anello dei polinomi possa essere pensato come un'algebra simmetrica su cui è stato scelto un sistema di coordinate (la base ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}}$) e, viceversa, ${\displaystyle S(V)}$ possa essere pensato come una versione senza coordinate di ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$.

Da questo segue anche che l'anello dei polinomi è isomorfo in modo canonico all'algebra simmetrica del duale di ${\displaystyle V}$.

• Algebra esterna

• (EN) Algebra simmetrica, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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