Relasi kekongruenan

Dalam aljabar abstrak, relasi kekongruenan (juga disebut dengan kekongruenan atau kongruen) adalah relasi ekuivalensi pada struktur aljabar (seperti grup, gelanggang, atau ruang vektor) yang sesuai dengan struktur yang bersangkutan; dalam artian hasil operasi aljabar dari elemen yang ekuivalen akan menghasilkan elemen yang ekuivalen.^[1] Setiap relasi kekongruenan memiliki kelas-kelas kesetaraan (atau kelas-kelas kekongruenan) yang bersesuaian untuk relasi tersebut.^[2]

Definisi

Kekongruenan memiliki definisi yang bergantung pada tipe struktur aljabar yang sedang dibahas. Definisi kekongruenan yang spesifik dapat dibentuk untuk grup, gelanggang, semigrup, modul, dan lain-lainnya. Tema yang umum dari definisi kekongruenan adalah suatu relasi ekuivalensi pada objek aljabar yang tetap berlaku pada struktur aljabar yang bersangkutan; dalam artian operasi untuk anggota struktur tersebut terdefinisi dengan baik untuk kelas-kelas ekuivalennya. Sebagai contoh, sebuah grup adalah objek aljabar berisi himpunan yang dilengkapi oleh sebuah operasi biner, yang memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Untuk sebuah grup ${\displaystyle G}$ dengan operasi ${\displaystyle \ast }$, relasi kekongruenan pada ${\displaystyle G}$ adalah relasi ekuivalensi ${\displaystyle \equiv }$ pada elemen-elemen ${\displaystyle G}$ yang memenuhi

${\displaystyle g_{1}\equiv g_{2}\ \ {\text{dan}}\ \ h_{1}\equiv h_{2}\implies g_{1}\ast h_{1}\equiv g_{2}\ast h_{2}}$

untuk setiap ${\displaystyle g_{1}}$, ${\displaystyle g_{2}}$, ${\displaystyle h_{1}}$, ${\displaystyle h_{2}\in G}$. Untuk kekongruenan pada sebuah grup, kelas kesetaraan yang mengandung elemen identitas selalu merupakan subgrup normal, dan kelas-kelas ekuvalen lainnya adalah coset dari subgrup ini. Secara keseluruhan, kelas-kelas kesetaraan ini adalah elemen dari grup hasil bagi.

Jika struktur aljabar memiliki lebih dari satu operasi, relasi kekongruenan perlu berlaku untuk setiap operasi. Sebagai contoh, sebuah gelanggang memiliki operasi penjumlahan dan perkalian, sehingga relasi kekongruenan perlu memenuhi

${\displaystyle r_{1}+s_{1}\equiv r_{2}+s_{2}{\text{ dan }}r_{1}s_{1}\equiv r_{2}s_{2}}$

untuk setiap ${\displaystyle r_{1}\equiv r_{2}{\text{ dan }}s_{1}\equiv s_{2}}$. Untuk kekongruenan pada sebuah gelanggang, kelas kesetaraan yang mengandung unsur 0 selalu merupakan ideal dua sisi; dan dua operasi pada himpunan kelas-kelas kesetaraan, dapat mendefinisikan gelanggang hasil bagi yang bersangkutan.

Bentuk umum relasi kekongruenan dapat didefinisikan secara formal dalam konteks aljabar universal, sebuah bidang ilmu yang mempelajari sifat-sifat yang dimiliki semua struktur aljabar. Dalam bidang ini, relasi kekongruenan adalah relasi ekuivalensi ${\displaystyle \equiv }$ pada struktur aljabar yang memenuhi

${\displaystyle \mu \left(a_{1}{\text{, }}a_{2}{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}\right)\equiv \mu \left(a_{1}'{\text{, }}a_{2}'{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}'\right)}$

untuk setiap operasi ${\displaystyle n}$-ary ${\displaystyle \mu }$, dan untuk semua elemen ${\displaystyle a_{1}{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}{\text{, }}a_{1}'{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}'}$ dengan ${\displaystyle a_{i}\equiv a_{i}'}$ untuk setiap ${\displaystyle i=1,...,n.}$

Contoh

Contoh umum dari relasi kekongruenan adalah kekongruenan modulo ${\displaystyle n}$ pada himpunan bilangan bulat. Untuk sebuah bilangan bulat positif ${\displaystyle n}$, dua bilangan bulat ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ dikatakan (saling) kongruen modulo ${\displaystyle n}$, dan dituliskan sebagai

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$

jika ${\displaystyle a-b}$ habis dibagi oleh ${\displaystyle n}$ (dalam kata lain, jika ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ memiliki sisa pembagian yang sama ketika dibagi oleh ${\displaystyle n}$).

Sebagai contoh, ${\displaystyle 37}$ dan ${\displaystyle 57}$ saling kongruen modulo ${\displaystyle 10}$, dan dituliskan sebagai

${\displaystyle 37\equiv 57{\pmod {10}}}$

karena ${\displaystyle 37-57=-20}$ adalah kelipatan dari ${\displaystyle 10}$; atau secara ekuivalen, karena ${\displaystyle 37}$ dan ${\displaystyle 57}$ memiliki sisa pembagian ${\displaystyle 7}$ ketika dibagi oleh ${\displaystyle 10}$.

sifat penjumlahan dan perkalian bilangan bulat masih berlaku dalam kekongruenan modulo ${\displaystyle n}$ (untuk ${\displaystyle n}$ yang tetap). Hal ini mengartikan jika

${\displaystyle a_{1}\equiv a_{2}{\pmod {n}}}$ dan ${\displaystyle b_{1}\equiv b_{2}{\pmod {n}}}$

maka

${\displaystyle a_{1}+b_{1}\equiv a_{2}+b_{2}{\pmod {n}}}$ and ${\displaystyle a_{1}b_{1}\equiv a_{2}b_{2}{\pmod {n}}}$

Penjumlahan dan perkalian untuk kelas-kelas kesetaraan ini dikenal sebagai aritmetika modular. Dari sudut pandang aljabar abstrak, kekongruenan modulo ${\displaystyle n}$ adalah relasi kekongruenan pada gelanggang bilangan bulat, dan operasi modulo ${\displaystyle n}$ terjadi pada gelanggang hasil bagi yang bersangkutan.

Hubungan dengan homomorfisma

Jika ${\displaystyle f:A\,\rightarrow B}$ adalah homomorfisma antara dua struktur aljabar (seperti homomorfisma pada grup, atau sebuah pemetaan linear antar ruang vektor), maka relasi ${\displaystyle R}$ yang didefinisikan sebagai

${\displaystyle a_{1}\,R\,a_{2}}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle f\left(a_{1}\right)=f\left(a_{2}\right)}$

adalah relasi kekongruenan. Berdasarkan teorema isomorfisma yang pertama, ${\displaystyle f(A)}$ adalah substruktur dari ${\displaystyle B}$ yang isomorfik kepada hasil bagi dari ${\displaystyle A}$ oleh kekongruenan ini.

Kekongruenan grup, subgrup normal, dan ideal

Dalam kasus khusus berupa grup, relasi kekongruenan dapat dideskripsikan dalam kondisi-kondisi sederhana berikut. Untuk grup ${\displaystyle G}$ (dengan elemen identitas ${\displaystyle e}$ dan operasi ${\displaystyle *}$), relasi biner ${\displaystyle \equiv }$ adalah kekongruenan jika dan hanya jika:

• Untuk setiap ${\displaystyle a\in G}$, ${\displaystyle a\equiv a}$ (reflektif).
• Untuk setiap ${\displaystyle a,b\in G}$, jika ${\displaystyle a\equiv b}$ maka ${\displaystyle b\equiv a}$ (simetris).
• Untuk setiap ${\displaystyle a,b,c\in G}$, jika ${\displaystyle a\equiv b}$ dan ${\displaystyle b\equiv c}$, maka ${\displaystyle a\equiv c}$ (transitif).
• Untuk setiap ${\displaystyle a,b,a',b'\in G}$, jika ${\displaystyle a\equiv a'}$ dan ${\displaystyle b\equiv b'}$, maka ${\displaystyle a*b\equiv a'*b'}$.
• Untuk setiap ${\displaystyle a,a'\in G}$, jika ${\displaystyle a\equiv a'}$ maka ${\displaystyle a^{-1}\equiv (a')^{-1}}$ (kondisi ini redundan karena dapat dibuktikan dari empat kondisi lainnya

Tiga kondisi pertama mengatakan bahwa ${\displaystyle \equiv }$ adalah sebuah relasi ekuivalensi. Kekongruenan ${\displaystyle \equiv }$ ditentukan seluruhnya dari himpunan ${\displaystyle \{a\in G:a\equiv e\}}$ elemen ${\displaystyle G}$ yang kongruen dengan elemen identitas, dan himpunan ini termasuk subgrup normal. Secara khusus, ${\displaystyle a\equiv b}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle b^{-1}*a\equiv e}$. Hal ini menyebabkan kekongruenan lebih sering merujuk pada subgrup normal dari grup ketimbang pada grup; faktanya, setiap kekongruenan berkorespodensi dengan subgrup normal ${\displaystyle G}$ yang unik.

Catatan

Referensi

• Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2. (Section 4.5 discusses congruency of matrices.)
• Rosen, Kenneth H (2012). Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill Education. ISBN 978-0077418939.