Perpangkatan bilangan dua

Perpangkatan bilangan dua, (atau perpangkatan angka dua, perpangkatan nilai dua) adalah bilangan dengan basis adalah 2 dan ${\displaystyle n}$ adalah bilangan bulat.

Ketika ${\displaystyle n}$ adalah bilangan bulat taknegatif^[1] ― dengan kata lain, bilangan cacah ― maka perpangkatan bilangan dua merupakan bilangan basis 2 yang dikali sebanyak ${\displaystyle n}$ kali.

${\displaystyle {\underset {n}{\underbrace {2\times \cdots \times 2} }}=2^{n}}$.

Tabel nilai

Tabel berikut merupakan nilai-nilai perpangkatan bilangan dua, untuk ${\displaystyle n}$ adalah bilangan bulat taknegatif, dimulai dari 0 sampai dengan 22.

Tabel perpangkatan bilangan dua^{[OEIS 1]}

${\displaystyle n}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 9}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 11}$	${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 13}$	${\displaystyle 14}$	${\displaystyle 15}$	${\displaystyle 16}$	${\displaystyle 17}$	${\displaystyle 18}$	${\displaystyle 19}$	${\displaystyle 20}$	${\displaystyle 21}$	${\displaystyle 22}$
${\displaystyle 2^{n}}$	${\displaystyle 1}$[nb 1]	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 16}$	${\displaystyle 32}$	${\displaystyle 64}$	${\displaystyle 128}$	${\displaystyle 256}$	${\displaystyle 512}$	${\displaystyle 1024}$	${\displaystyle 2048}$	${\displaystyle 4096}$	${\displaystyle 8192}$	${\displaystyle 16384}$	${\displaystyle 32768}$	${\displaystyle 65536}$	${\displaystyle 131072}$	${\displaystyle 262144}$	${\displaystyle 524288}$	${\displaystyle 1048576}$	${\displaystyle 2097152}$	${\displaystyle 4194304}$

Tabel berikut juga merupakan nilai-nilai bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua, untuk ${\displaystyle n}$ adalah bilangan bulat taknegatif, dimulai dari 0 sampai dengan 8.

Tabel bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua^{[OEIS 2]}

${\displaystyle n}$	${\displaystyle 2^{2^{n}}}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 4}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 16}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 256}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 65536}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 4294967296}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 18446744073709551616}$
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 340282366920938463463374607431768211456}$
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936}$

Dalam aljabar

Segitiga Pascal

Perpangkatan bilangan dua berkaitan dengan segitiga Pascal. Pada barisan pertama, jumlah bilangannya adalah ${\displaystyle 1}$ yang sama saja dengan ${\displaystyle 2^{0}}$. Lalu dilanjutkan pada barisan kedua, jumlah bilangannya adalah ${\displaystyle 1+1=2=2^{1}}$. Ini terus berlanjut hingga memperoleh pola untuk ${\displaystyle 2^{n}}$, yaitu:

${\displaystyle 2^{n}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}+\dots +{\binom {n}{n}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}}$.^[2]

Dalam teori bilangan

Sistem bilangan biner

Perpangkatan bilangan dua dapat dipakai dalam sistem bilangan biner^[3], yakni sistem bilangan yang terdiri dari digit "0" dan "1". Contoh hubungan sistem bilangan biner dengan Perpangkatan bilangan dua dapat dilihat di tabel bawah ini.

${\displaystyle n}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 9}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle \cdots }$
${\displaystyle 2^{n}}$	${\displaystyle 2^{0}}$	${\displaystyle 2^{1}}$	${\displaystyle 2^{2}}$	${\displaystyle 2^{3}}$	${\displaystyle 2^{4}}$	${\displaystyle 2^{5}}$	${\displaystyle 2^{6}}$	${\displaystyle 2^{7}}$	${\displaystyle 2^{8}}$	${\displaystyle 2^{9}}$	${\displaystyle 2^{10}}$	${\displaystyle \cdots }$
Bilangan biner	${\displaystyle 1_{2}}$	${\displaystyle 10_{2}}$	${\displaystyle 100_{2}}$	${\displaystyle 1000_{2}}$	${\displaystyle 10000_{2}}$	${\displaystyle 100000_{2}}$	${\displaystyle 1000000_{2}}$	${\displaystyle 10000000_{2}}$	${\displaystyle 100000000_{2}}$	${\displaystyle 1000000000_{2}}$	${\displaystyle 10000000000_{2}}$	${\displaystyle \cdots }$

Seperti yang dilihat, jumlah digit dalam bilangan biner bergantung pada nilai ${\displaystyle n}$. Contohnya, ${\displaystyle 2^{1}}$ dikonversikan menjadi ${\displaystyle 10}$ dalam bilangan biner, dengan jumlah digit 0 adalah 1. ${\displaystyle 2^{2}}$ dikonversikan menjadi ${\displaystyle 100}$, dengan jumlah digit 0 adalah 2. Hal ini terus berlanjut untuk ${\displaystyle n}$ bilangan bulat taknegatif.

Bilangan Mersenne

Perpangkatan bilangan dua dapat diterapkan pada bilangan Mersenne, dengan bentuk ${\displaystyle M_{n}\equiv 2^{n}-1}$.^[4] Jika ${\displaystyle n=p}$ (dimana ${\displaystyle p}$ bilangan prima), maka bilangan tersebut merupakan bilangan prima Mersenne, yakni ${\displaystyle M_{p}=2^{p}-1}$.

Bilangan prima terbesar yang diketahui

Saat ini, bilangan prima terbesar yang diketahui ditemukan oleh Great Internet Mersenne Prime Search (atau diabreviasikan sebagai GIMPS) merupakan bilangan prima yang terdiri dari 24.862.048 digit^[5], yakni ${\displaystyle 2^{82.589.933}-1}$.^[6] Bilangan prima tersebut ditemukan pada September 2021.

Dalam teori himpunan

Himpunan kuasa

Perpangkatan bilangan dua berkaitan dengan himpunan kuasa ${\displaystyle S}$ (dinotasikan ${\displaystyle \wp (S)}$), yaitu himpunan yang anggotanya merupakan subhimpunan ${\displaystyle S}$ dengan banyak anggota himpunan kuasa ${\displaystyle S}$ sama dengan dua dipangkatkan dengan jumlah anggota ${\displaystyle S}$.^[7] Ini dituliskan secara matematis:

${\displaystyle \wp (S)=2^{n(S)}}$.

Hipotesis kontinum

Dalam teori himpunan, hipotesis kontinum merupakan hipotesis yang dinyatakan dalam sebuah persamaan bilangan alef.

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$.^[8]

Kaitan dengan masalah yang belum terpecahkan

Misalkan ${\displaystyle x_{i}=1}$

${\displaystyle i}$	${\displaystyle \sum {\frac {1}{2^{2^{i}}}}}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0,5}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0,75}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 0,8125}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 0,81640625}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$

Barisan keirasionalan

Perpangkatan bilangan dua juga berkaitan dengan masalah yang belum terpecahkan. Contohnya, bilangan ${\displaystyle 2^{2^{n}}}$membentuk barisan keirasionalan, lihat tabel bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua. Maka, untuk setiap barisan bilangan bulat positif ${\displaystyle x_{i}}$, deret

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{i}}x_{i}}}}$

konvergen menuju bilangan irasional. Karena ${\displaystyle 2^{2^{n}}}$ merupakan barisan dengan pertumbuhan tercepat, deret tersebut merupakan barisan keirasionalan dengan pertumbuhan terlambat yang diketahui.^[9]

Lihat pula

• Perpangkatan bilangan 10
• Perpangkatan bilangan tiga

Catatan kaki dan rujukan

Catatan kaki

1. ^ Sudah pasti jelas bahwa suatu bilangan yang dipangkatkan 0 bernilai 1. Terkecuali untuk ${\displaystyle 0^{0}}$. Lihat Eksponensiasi#Eksponen nol

Rujukan

OEIS