Numerikus sorok

Ha végtelen sok számot adunk össze, akkor végtelen sort kapunk. Néhány példa:

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\dots$

$1-1+1-1+1-\dots$

$1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+\dots$

A végtelen sorok tanulmányozása már a 17. században elkezdődött. Bizonyos mennyiségek és függvények kiszámítása egyszerűbbé válik, ha végtelen soralakban írjuk fel őket.

Alapvető fogalmak

Ha (x_n) egy számsorozat, akkor numerikus soron (illetve az (x_n) számsorozatból képezett soron) az

((x_{n}),(s_{n}))\,

rendezett párt értjük, ahol

s_{n}=\sum \limits _{k=1}^{n}x_{k}=x_{1}+x_{2}+...+x_{n}

az (x_n) sorozat részletösszegeinek sorozata. Az (x_n)-ből képezett sor jelölésére a

\sum (x_{n})\,

jelölés használatos. Ebben a tekintetben egy n számot indexnek, az x_n számot a sor n-edik tagjának nevezzük. x_n az s_n összeg utolsó tagja.

Gyakran van, hogy egy sor olyan (x_n) sorozatból készül, mely nem a természetes számok N halmazán, hanem annak az m számnál nagyobb-egyenlő számokból álló részhalmazán értelmezett. Ezt a következőféleképpen jelöljük: $s_{n}=\sum \limits _{k=m}^{n}x_{k}$

Megjegyzés. Sokszor magára a sorra csak mint az (s_n) részletösszeg-sorozatra gondolnak, nem szükséges, hogy a numerikus sort rendezett párként definiálják, legfeljebb néha előnyös.

Azt mondjuk, hogy a ∑(x_n) sor konvergens, ha a részletösszegeinek (s_n) sorozata konvergens. Ha ∑(x_n) konvergens, akkor az (s_n) határértékét a ∑(x_n) sor összegének nevezzük és a

\sum \limits _{n=1}^{\infty }x_{n}\,

szimbólummal jelöljük.

Megjegyezzük, hogy a ∑(x_n) pontosan akkor konvergens, ha az első m-1 tagjának elhagyásával kapott ${\sum \limits _{n=m}^{\infty }x_{n}}\,$ sor is az. De a két sor összege már nem feltétlenül azonos. A sor összegezhetősége szempontjából ugyan nem, de a sor összege meghatározásánál lényeges az, hogy az összegzést melyik indextől kezdjük. Például tetszőleges q valós számra

\sum \limits _{n=0}^{\infty }q^{n}\,

és

\sum \limits _{n=1}^{\infty }q^{n}\,

egyszerre konvergensek vagy nem, de az |q| < 1 összegezhetőségi feltétel fennállása esetén

\sum \limits _{n=0}^{\infty }q^{n}={\frac {1}{1-q}}\,

és

\sum \limits _{n=1}^{\infty }q^{n}={\frac {q}{1-q}}

Konvergenciakritériumok

Cauchy-konvergenciakritérium

Sorok összegezhetőségének megállapításánál ugyanaz a nehézség áll elő, mint a sorozatok konvergenciájának megállapításánál. Ha definíció szerint szeretnénk belátni a konvergenciát, akkor előre tudnunk kellene a sor összegét. Ezt a nehézséget először Cauchy hidalta át, aki a konvergenciára egy olyan kritériumot vezetett be, mely nem feltételezi a sorösszeg ismeretét.

Cauchy-kritérium. Az alábbi kijelentések ekvivalensek egymással:

∑(a_n) végtelen sor konvergens
$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {Z} ^{+}\quad \forall n,m\in \mathbf {Z} ^{+}:\quad n>m>N\quad \Rightarrow \quad \left|\sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon \,$

Ezt azt jelenti, hogy egy sor pontosan akkor konvergens, ha a részletösszegek sorozata a Cauchy-sorozat. Ugyanis

s_{n+k}-s_{n}=\sum _{i=n+1}^{n+k}a_{i}

Szükséges kritérium

Konvergens numerikus sorok esetén lehetetlen, hogy az a sorozat, amiből a sort képeztük ne legyen nullsorozat.

Sorok összegezhetőségének szükséges feltétele

Ha a ∑(a_n) sor konvergens, akkor a_n $\to$ 0.

Ugyanis, legyen a sor összege A ∈ R és a ∑(a_n) részletösszegeinek sorozata (s_n). Mivel (s_n-1) részsorozata a konvergens (s_n)-nek ezért:

a_{n}=s_{n}-s_{n-1}\,

szintén konvergens és a konvergens sorozatok különbségének határértékére vonatkozó tulajdonság miatt:

a_{n}\to A-A=0\,

Ez a feltétel nem elégséges. Nevezetes ellenpélda ugyanis a

\sum _{(1)}\left({\frac {1}{n}}\right)

harmonikus sor, mely divergens, bár a tagjai a nullához tartanak. Ezt már a Cauchy-kritériummal is igazolni tudjuk. Legyen ugyanis ε = 1/2 és N tetszőleges természetes szám. Ekkor az n = N + 1 és m = 2N számok olyanok, hogy

\left|\sum \limits _{k=N+1}^{2N}{\frac {1}{k}}\right|=\sum \limits _{k=N+1}^{2N}{\frac {1}{k}}\geq \sum \limits _{k=N+1}^{2N}{\frac {1}{2N}}={\frac {N}{2N}}={\frac {1}{2}}=\varepsilon \,

Egy másik jellegzetes példa. A

\sum _{(0)}({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}})

sor tagjai a nullához tartanak, ugyanakkor a sor n-edik részletösszege teleszkopikus összeg és

\sum _{k=0}^{n-1}({\sqrt {k+1}}-{\sqrt {k}})={\sqrt {1}}-{\sqrt {0}}+{\sqrt {2}}-{\sqrt {1}}+...+{\sqrt {n-1}}-{\sqrt {n-2}}=

=-{\sqrt {0}}+{\sqrt {n-1}}=0+{\sqrt {n-1}}\to \infty

Megjegyzés: egy nem negatív tagú sor akkor és csak akkor konvergens, ha a részletösszegeinek sorozata korlátos, illetve ha egy nemnegatív tagú sor divergens, akkor az összege végtelen.

Végtelen sorok és műveletek

Állítás: Ha a $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ végtelen sor konvergens és az összege A, akkor minden $c\in \mathbb {R}$ -re a $\sum _{n=1}^{\infty }c\cdot a_{n}$ sor is konvergens, és az összege $c\cdot A$ .

Bizonyítás:Ha a $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ sor n-edik részletösszege $s_{n}$ , akkor a $\sum _{n=1}^{\infty }c\cdot a_{n}$ sor n-edik részletösszege $c\cdot s_{n}$ . Így az állítás abból következik, hogy $\lim _{n\to \infty }c\cdot s_{n}=c\cdot \lim _{n\to \infty }s_{n}=c\cdot A$

Állítás: Ha a $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ és $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ sorok konvergensek, és összegük A illetve B, akkor a $\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n})$ sor is konvergens, és az összege A+B.

Bizonyítás: Ha a megfelelő sorok n-edik részletösszegei $s_{n}$ illetve $t_{n}$ , akkor a $\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n})$ sor n-edik részletösszegei $s_{n}+t_{n}$ . Így az állítás következik abból, hogy $\lim _{n\to \infty }(s_{n}+t_{n})=\lim _{n\to \infty }s_{n}+\lim _{n\to \infty }t_{n}=A+B$ .

Megjegyzés: Egy konvergens sor tagjai közül akárhány 0-val egyenlő tagot elhagyva, illetve akárhány 0-t beszúrva a sor konvergens marad és az összege nem változik.

Állítás: Egy konvergens sor tagjai közül véges sokat elhagyva, véges sok új tagot beszúrva, illetve véges sok tagot megváltoztatva a sor konvergens marad.

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy a $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ sor tagjai közül az $a_{k}$ tagot elhagyjuk. Ekkor $n\geq k$ esetén az új sor n-edik részletösszege $s_{n}-a_{k}$ lesz, tehát az új sor részletösszegeinek sorozata $A-a_{k}$ -hoz tart. Ha viszont a $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ sor k-adik és k+1-edik tagja közé beszúrunk egy új c tagot, akkor n>k esetén az új sor n-edik részletösszege $s_{n}+c$ lesz, tehát az új sor részletösszegeinek sorozata A+c-hez tart. Mindkét esetben konvergens sort kapunk. Ebből következik, hogy e két operációt véges sokszor elvégezve az eredményül kapott sor konvergens marad. Véges sok tag megváltoztatása elérhető úgy, hogy az illető tagokat elhagyjuk, majd a helyükre újakat szúrunk be, tehát a konvergenciát ez sem változtatja meg.

Azt mondjuk, hogy a $\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}$ végtelen sor a $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ és $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ sorok összefésülése, ha a $c_{n}$ sorozat az $a_{n}$ és $b_{n}$ tagokat és csak azokat sorolja fel, mindegyiket pontosan egyszer, és az $a_{n}$ , illetve $b_{n}$ tagok sorrendje a $(c_{n})$ sorozatban ugyanaz, mint az $(a_{n})$ illetve $(b_{n})$ sorozatban.

Állítás: Ha a $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ és $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ sorok konvergensek és az összegük A, illetve B, akkor a sorok minden összefésülése is konvergens, és az összege A+B.

Bizonyítás: A két sor minden összefésülése megkapható oly módon, hogy mindkét sorba alkalmas helyekre 0 tagokat szúrunk be, majd az így kapott két sort tagonként összeadjuk. Így az állítás a fentiekből következik.

Abszolút és feltételes konvergencia

A $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ végtelen sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a $\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ sor konvergens.

Állítás: Minden abszolút konvergens sor konvergens.

Bizonyítás: Ha $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ abszolút konvergens, akkor a Cauchy-kritérium szerint minden $\varepsilon$ >0-hoz van olyan N, hogy $|a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots +|a_{m}|<\varepsilon$ teljesül minden $N\leq n<m$ -re. De ekkor a háromszög-egyenlőtlenség szerint $|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{m}|\leq |a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots +|a_{m}|<\varepsilon$ is teljesül, tehát a $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ sor is kielégíti a Cauchy-kritériumot.Tehát az állítást beláttuk.

Tétel: Egy abszolút konvergens sor bármely átrendezettje is abszolút konvergens, és az összege ugyanaz mint az eredeti soré.

Bizonyítás: Legyen a $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ a $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ sor egy átrendezettje. Adott $\varepsilon$ >0-hoz válasszunk egy olyan N-et, hogy $|a_{N}|+|a_{N+1}|+\cdots +|a_{m}|<\varepsilon$ teljesüljön minden m>N-re. Az $a_{1},\cdots ,a_{N}$ tagok mind szerepelnek a $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ sorban. Ha itt az indexeik maximuma M, akkor k>M esetén a $b_{m},\cdots ,b_{k}$ tagoknak az $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ sorbeli indexei nem kisebbek N-nél, tehát elég nagy m-re szerepelnek az $a_{N},\cdots ,a_{m}$ tagok között. Így $|b_{M}|+|b_{M+1}|+\cdots +|b_{k}|\leq |a_{N}|+|a_{N+1}|+\cdots +|a_{m}|<\varepsilon$ . Ebből következik, hogy a $\sum _{n=1}^{\infty }|b_{n}|$ sor is kielégíti a Cauchy-kritériumot, tehát konvergens. Ezzel beláttuk, hogy a $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ sor is abszolút konvergens, tehát a fenti állítás miatt konvergens is. Legyen $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=A$ és $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}=B$ . Adott $\varepsilon$ >0-ra legyen N és M mint fent. Ekkor k>max(N,M) esetén a $d_{k}=(a_{1}+\cdots +a_{k})-(b_{1}+\cdots +b_{k})$ különbségében minden $a_{n}(n\leq N)$ tag kiesik, tehát $d_{k}$ olyan $\pm a_{n}$ alakú tagok összege, amelyek indexei különbözőek és N-nél nagyobbak. Így alkalmas m>N-re $|d_{k}|\leq |a_{N}|+|a_{N+1}|+\cdots +|a_{m}|<\varepsilon$ Ezzel beláttuk, hogy $\lim _{k\to \infty }d_{k}=0$ . Azonban $\lim _{k\to \infty }d_{k}=A-B$ , tehát A=B.