Gábriel harsonája

Gábriel harsonája egy végtelen felszínű, de véges térfogatú test, amelyet Evangelista Torricelli olasz matematikus fedezett fel.

A Harsona
Térbeli modell

Matematikai jellemzők

A test az y = 1 x {\displaystyle y={\frac {1}{x}}} görbe x ≥ 1 {\displaystyle x\geq 1} részének háromdimenziós, x tengely körüli elforgatásával keletkezik. A kürt felszínének és térfogatának 1 és a ≥ 1 {\displaystyle a\geq 1} közé eső része integrálszámítás segítségével (lásd improprius integrál) kiszámítható:

Felszín

A felszín 1 és a {\displaystyle a} között:

A a = 2 π ∫ 1 a 1 + 1 x 4 x d x > 2 π ∫ 1 a 1 x   d x = 2 π ln ⁡ a {\displaystyle A_{a}=2\pi \int \limits _{1}^{a}{\frac {\sqrt {1+{\frac {1}{x^{4}}}}}{x}}\mathrm {d} x>2\pi \int \limits _{1}^{a}{\frac {\sqrt {1}}{x}}\ \mathrm {d} x=2\pi \ln a}

a {\displaystyle a} tetszőlegesen nagy lehet, így:

A = lim a → ∞ A a = lim a → ∞ 2 π ln ⁡ a = ∞ {\displaystyle A=\lim _{a\to \infty }A_{a}=\lim _{a\to \infty }2\pi \ln a=\infty }

Térfogat

Résztérfogat:

V a = π ∫ 1 a 1 x 2 d x = π ( 1 − 1 a ) {\displaystyle V_{a}=\pi \int \limits _{1}^{a}{1 \over x^{2}}\mathrm {d} x=\pi \left(1-{1 \over a}\right)}

a → ∞ {\displaystyle a\to \infty } :

V = lim a → ∞ V a = lim a → ∞ π ( 1 − 1 a ) = π {\displaystyle V=\lim _{a\to \infty }V_{a}=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-{1 \over a}\right)=\pi }

azaz végtelenbe tartva a térfogat π {\displaystyle \pi } -hez konvergál, viszont a felszínre nincs felső korlát.

Felfedezésekor paradoxonnak tartották, hogy egy végtelen területet az x tengely körül forgatva véges térfogat kapható.

Festési paradoxon

Intuíciónk számára úgy fordítható ez le egyszerűen a paradoxon, hogy a harsona megtölthető véges mennyiségű festékkel, ugyanakkor a lefestéséhez végtelen mennyiségre lenne szükség, ami azért meglepő, hiszen a megtöltés során gyakorlatilag lefestettük. A paradoxon feloldása az, hogy a két esetben a festék más minőségű: a feltöltéshez 3 dimenziós festéket használtunk, viszont a felszín lefestését 2 dimenziós festékkel végeznénk el.

Magyarázat

Amikor a görbét x tengely körül elforgatva térfogatot és felszínt számolunk, az olyan mintha a keresztmetszeti körök területét és kerületét összegeznénk, a területekből a térfogat, a kerületekből a felszín adódik.

T = π 1 x 2 ≪ 2 π 1 x = K {\displaystyle T=\pi {1 \over x^{2}}\ll 2\pi {1 \over x}=K}

Azaz ahogy x tart a végtelenbe, a π 1 x 2 {\displaystyle \pi {1 \over x^{2}}} kifejezés nagyságrendekkel gyorsabban csökken, mint a 2 π 1 x {\displaystyle 2\pi {1 \over x}}

Irodalom

  • Gabriel's Other Possessions, Melvin Royer, doi:10.1080/10511970.2010.517601
  • Gabriel's Wedding Cake, Julian F. Fleron, https://web.archive.org/web/20160108170652/http://people.emich.edu/aross15/math121/misc/gabriels-horn-ma044.pdf
  • A Paradoxical Paint Pail, Mark Lynch, http://www.maa.org/programs/faculty-and-departments/classroom-capsules-and-notes/a-paradoxical-paint-pail
  • Supersolids: Solids Having Finite Volume and Infinite Surfaces, William P. Love, JSTOR 27966098

További információk

  • Információk és diagramok Gábriel harsonájáról

Források

  • Information and diagrams about Gabriel's Horn
  • Torricelli's Trumpet at PlanetMath Archiválva 2012. március 1-i dátummal a Wayback Machine-ben
  • Weisstein, Eric W.: Gabriel's Horn (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  • "Gabriel's Horn" by John Snyder, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.
  • Gabriel's Horn: An Understanding of a Solid with Finite Volume and Infinite Surface Area by Jean S. Joseph.
  • Matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap